Overleg:Continuümhypothese

Hoi, weet je zeker dat je toevoeging juist is? Gödels stelling is immers een stuk algemener dan dit probleem. Floris V 3 apr 2006 13:55 (CEST)

Mijn toevoeging betreft slechts de verwijzing naar het Wikipedia-artikel over de stellingen van Gödel. Al in een eerdere versie van Continuumhypothese stond er de verwijzing naar Gödel. Dit gedeelte van het artikel plaatst deze hypothese in een breder kader. Juist vanwege de breedte van Gödels stellingen lijken die me op het eerst gezicht van toepassing op een betere versie van de continuumhypothese. Iemand met meer verstand van logica en wiskunde kan hier wellicht meer over zeggen. Wesoparius 3 apr 2006 14:01 (CEST)

Nou nee. De onvolledigheidsstelling van Gödel stelt dat er altijd wel een uitspraak te formuleren valt waarvan de juistheid binnen een bepaald axiomastelsel niet kan worden aangetoond, mits dat krachtig genoeg is. De stelling doet echter geen uitspraken over willekeurige stellingen. Je moet per geval blijven aantonen of een uitspraak afhankelijk of onafhankelijk is van je axioma's. Floris V 3 apr 2006 14:18 (CEST)

Je opmerking wijst op een cruciaal punt! Ik ben blij dat ik lijken...van toepassing schreef. Zou het niet zo zijn dat in het artikel de passage over het toevoegen van een axioma dient te vervallen, want juist van die weg hebben Gödel en Cohen de onbegaanbaarheid aangetoond? Volgens mij wreekt het zich dat hier ietwat te snel twee artikelen zijn samengevoegd. Wesoparius 3 apr 2006 16:08 (CEST)

Daar snap ik nou helemaal niets van. Volgens mij gooi je twee dingen door elkaar. Het is natuurlijk altijd geoorloofd een stelsel axioma's uit te breiden als je merkt dat je binnen dat stelsel bepaalde uitspraken niet kunt bewijzen. Anders hoefde je er niet eens aan te beginnen. Gödel en Cohen hebben aangetoond dat de CH onafhankelijk is van ZFC. Vergelijk dat maar met het parallellenaxioma uit de vlakke meetkunde, dat is onafhankelijk van de andere vier door Euclides opgestelde axioma's (ja, ik hoor al zeggen dat hij dat postulaten noemde en axioma's waren bij hem wat anders). Dan zeg je toch ook niet op dezelfde gronden, laat nummer vijf maar zitten, want er komt toch geen eind aan? Bedenk ook dat het werk van Gödel uit meer bestaat dan zijn onvolledigheidsstellingen en dat niet al zijn werk er direct mee samenhangt. Floris V 3 apr 2006 16:24 (CEST)

Nu ik het nog eens doorlees valt het me op dat de zin 'Om te bepalen of de CH waar is ... ' eigenlijk niet juist is. Je kunt een axioma toevoegen dat equivalent is met de bewering dat de CH waar is, maar ook een dat equivalent is met de bewering dat de CH niet waar is. Met de waarheid van de CH heeft dat niets te maken. Floris V 3 apr 2006 17:51 (CEST)

Tot die veronderstelling kwam ik in mijn vorige reactie ook. Wie helpt mij als niet-wiskundige trouwens door het begrip ZFC in een nieuw Wikipedia-artikel kort uiteen te zetten? Gödel heeft inderdaad meer op zijn naam dan de onvolledigheidsstellingen, maar hij deelt het lot met andere grote wiskundigen dat hij meestal met één onderwerp, vaak uit een vroege publicatie, zal worden geassocieerd... Wesoparius 4 apr 2006 13:22 (CEST)

De verzamelingenleer is niet mijn specialiteit. Iemand anders? Floris V 4 apr 2006 18:52 (CEST)

Vergelijkbare artikelen in de Duitse en Engelse Wikipedia verwijzen naar Gödels onvolledigheidsstellingen. De continuumhypothese (CH) was in 1940 de eerste illustratie van Gödels gelijk dat de CH onbewijsbaar is. Wesoparius 14 apr 2006 14:41 (CEST)

@Qwertyus

Het ziet er heel duidelijk uit zo, Qwertyus! Of het correct is durf ik niet te beoordelen, maar bij zo'n helder verhaal moet dat haast wel!  :-) Groeten, Bob.v.R 1 jun 2006 04:07 (CEST)

Bij nader inzien merk ik toch nog een omissie op. Er worden in feite twee definities gegeven: een in woorden, en een met een formule. Het is nu echter niet mogelijk om in te zien dat de formules hetzelfde zeggen als de definitie in woorden, want bij de formules wordt helemaal niet gesproken over de reële getallen. Dus de twee sluiten toch niet helemaal op elkaar aan. Kan je daar nog iets aan doen? Bob.v.R 1 jun 2006 10:11 (CEST)

Het was inderdaad nog niet heel erg duidelijk. Verbeterd. Op Diagonaalbewijs van Cantor#Continuümhypothese staat een toegankelijker uitleg, zal daar nog wat uit kopieren. QVVERTYVS (hm?) 8 jun 2006 01:50 (CEST)

Probleem lijkt omgedraaid

Sinds mijn laatste bijdrage aan deze pagina, een paar jaar geleden, heb ik er niet meer naar gekeken. Sindsdien heeft iemand het volgende in de tekst gezet:

Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat $C$ gelijk is aan $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$, het eerste kardinaalgetal groter dan $\aleph _{0}$.

Zoals ik het probleem uitgelegd heb gekregen (toen ik cursussen logica volgde en hier dieper in zat), volgt wel degelijk uit Cantors diagonaalbewijs dat $C=2^{\aleph _{0}}$ en luidt de continuümhypothese juist dat $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ (hetgeen overeenstemt met de eerste bron). De geciteerde zin lijkt de boel om te draaien.

De versie van het diagonaalbewijs die ik geleerd heb gaat uit van de verzameling van alle 01-rijen, d.i. alle oneindige rijen waarvan de elementen 0 of 1 zijn. Deze corresponderen 1-op-1 met de deelverzamelingen van $\mathbb {N}$, dus is hun aantal gelijk aan $|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}$. De eigenlijke diagonalisering dient dan slechts om aan te tonen dat $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}$. Omdat vervolgens de 01-rijen 1-op-1 corresponderen met het reële interval $[0,1]$, via de binaire weergave van getallen in dat interval als bijv. 0,01101100..., volgt dat $2^{\aleph _{0}}=C$ (na vermenigvuldiging met $\aleph _{0}$, hetgeen geen hogere kardinaliteit oplevert).

Kan iemand die hier meer verstand van heeft de tekst nalopen? QVVERTYVS (hm?) 7 sep 2009 00:51 (CEST)