Ongelijkheid van Pedoe

De ongelijkheid van Pedoe is een ongelijkheid in de meetkunde vernoemd naar Daniel Pedoe (1910-1998). Als $a,\,b$ en $c$ de lengtes zijn van de zijden van een driehoek met oppervlakte $o$ , en $A,\,B$ en $C$ de lengtes van de zijden van een driehoek met oppervlakte $O$ , geldt

A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Oo

,

waarbij het gelijkteken geldt dan en slechts dan als de twee driehoeken gelijkvormig zijn.

De uitdrukking aan de linkerkant van de ongelijkheid is op twee manieren symmetrisch:

De uitdrukking is invariant onder elk van de zes permutaties van de drie paren $(A,a),\,(B,b),\,(C,c)$ ;
De uitdrukking is ook invariant onder verwisseling van $(a,b,c)$ en $(A,B,C)$ .

Referenties bewerken

D. Pedoe "A Two-Triangle Inequality", American Mathematical Monthly, 70-9, pag. 1012 (November 1963).
D. Pedoe "An Inequality for Two Triangles", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 38-4, pag. 397 (1943).
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-342-9, pag. 108
D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196–210 · January 1988 (Online-Kopie)
Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (Dez., 1941), pag. 310-311 (JSTOR)