Logistische functie

(Doorverwezen vanaf Logistische curve)

De logistische functie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst, beschrijft het verloop van de omvang van een populatie als functie van de tijd , als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is:

  • met de huidige omvang van de populatie
  • als met de nog voorhanden "groeiruimte" ,
Logistische functie, specifiek de Sigmoidfunctie.

waarin de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.

Deze eisen leiden tot de differentiaalvergelijking:

De oplossing daarvan is:

die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.

De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin ( klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind ( groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum , omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is. Als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst: daar heeft de exponentiële groei de overhand.

OplossingBewerken

De differentiaalvergelijking

 

gaat door scheiding van variabelen over in:

 

Door integratie en breuksplitsing volgt:

 

zodat:

 

Daaruit volgt:

 

De integratieconstante   kan uitgedrukt worden in de populatie-omvang op het tijdstip 0:

 

ToepassingBewerken

Logistische groei kan als model gebruikt worden voor bacteriekolonies en muizenpopulaties waarvan de populatie-omvang begrensd wordt door de beperkte aanwezigheid van voedsel.

Zie ookBewerken