Liouville-functie

De Liouville-functie, aangeduid met en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal .

DefinitieBewerken

Laat   een positief natuurlijk getal zijn en   het aantal priemfactoren van  , dan is de Liouville-functie gedefinieerd door:

 

en voor  

 

Het aantal priemfactoren   van   kan afgelezen uit de (rij[1]).

Meervoudige factoren worden in   ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld is  , want 12 = 2×2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is  . Voor   geldt   omdat 13 een priemgetal is, en dus is ook  , zoals voor alle priemgetallen.

De Liouville-functie neemt slechts de waarden +1 en -1 aan, afhankelijk ervan of het argument een even of een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functieBewerken

De Riemann-zèta-functie  , waarin   een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

 

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

 

SommeringBewerken

 
Grafiek van   tot 107. In dit gebied is het vermoeden van Pólya nog geldig.

Stel:  . Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met  .

  geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met   met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat   voor alle  .[2] Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen   zijn waarvoor   is.[3] Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.[4]

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = −17555181 en L(351753358289465)=1160327.[5] Het is echter nog een open vraag, of   al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

 .

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat   vanaf een voldoend grote  , steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor   negatief is.[3]