Hardy-ruimte

In complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een Hardy-ruimte (of Hardy-klasse) een bepaalde ruimte van holomorfe functies op de eenheidsschijf of het bovenhalfvlak. Hardy-ruimten werden in 1923 geïntroduceerd door Frigyes Riesz, die deze ruimten vernoemde naar G. H. Hardy, vanwege een artikel dat Hardy in 1915 over dit onderwerp had gepubliceerd. In de reële analyse zijn Hardy-ruimten bepaalde ruimten van de distributies op de reële rechte die (in de zin van distributies) grenswaarden zijn van de holomorfe functies van de complexe Hardy-ruimten. Zij zijn gerelateerd aan de -ruimten uit de functionaalanalyse.

Voor zijn deze reële Hardy-ruimten bepaalde deelverzamelingen van , terwijl voor de -ruimten een aantal ongewenste eigenschappen hebben. Hardy-ruimten gedragen zich veel beter.

DefinitieBewerken

Zij   de eendimensionale torus of eenheidcirkel, gemodelleerd als het gesloten interval   met de uiteinden geïdentificeerd. Noteer voor elk geheel getal   de functie  . Voor   is   de banachruimte der complexwaardige periodieke functies met periode   waarvan de  -de macht absoluut integreerbaar is; voor   is   de ruimte der essentieel begrensde dergelijke functies (zie  -ruimte).

De Hardy-ruimte   is de deelvectorruimte van   bestaande uit functies waarvan alle fouriercoëfficiënten met negatieve index 0 zijn:[1]

 

Deze deelruimte is gesloten in de  -norm en vormt dus opnieuw een banachruimte. Opgevat als functies op de eenheidscirkel in het complexe vlak, bestaat ze uit functies die kunnen worden uitgebreid worden tot holomorfe functies op de eenheidsschijf in het complexe vlak (de fouriercoëfficiënten zijn de coëfficiënten van de machtreeksontwikkeling rond 0).

Omdat   een eindige lengte heeft, vormen de Hardy-ruimten net als de bovenliggende  -ruimten een ketting van deelverzamelingen: