Gamma-matrices

Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices $\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ die voldoen aan de relaties

\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I,\quad \gamma ^{k}\gamma ^{k}=-I,\quad k=1,2,3

en voor $\mu \neq \nu$

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3

waar $I$ de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen samengevat worden als

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I

.

$g^{\mu \nu }$ is de metrische tensor

g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

.

Er zijn veel mogelijkheden om te voldoen aan deze relaties.

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als

\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}

.

De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De Diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als

(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0

waarbij $\psi =\psi (x^{\mu })$ de (relativistische) golffunctie is, $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu },\;x^{0}=t,\quad m$ is de massa van het fermion, en de einstein-sommatieconventie is gebruikt (sommatie over de index $\mu$ ).