Formules van Viète
In de wiskunde zijn de formules van Viète formules waarmee de coëfficiënten van een polynoom uitgedrukt worden in sommen en producten van de nulpunten. De formules zijn genoemd naar de 16e-eeuwse Franse wiskundige François Viète, vaak aangeduid met de gelatiniseerde vorm van z'n naam Franciscus Vieta.
Viète stelde de formules op voor het geval van positieve nulpunten. Naar de mening van de 18e-eeuwse Britse wiskundige Charles Hutton werd het algemene principe het eerst begrepen door de 17e-eeuwse Franse wiskundige Albert Girard.
De formules
bewerkenIn het eenvoudige geval van een tweedegraadspolynoom
met nulpunten en , geldt:
en
De som-product-methode is gebaseerd op deze formules om in speciale gevallen de nulpunten te bepalen.
Generalisatie
bewerkenDe polynoom van de graad
met reële of complexe coëfficiënten, waarvan , heeft volgens de hoofdstelling van de algebra , eventueel samenvallende, nulpunten .
De formules van Viète drukken de verhoudingen met voorteken uit in sommen van producten van deze nulpunten
Algemeen geldt voor :
De rechterleden van de formules zijn de elementair symmetrische functies van de polynoom.
Voorbeeld
bewerkenVoor de vierdegraadspolynoom
- ,
met nulpunten , zien de formules er als volgt uit:
Zie ook
bewerkenLiteratuur
bewerken- Funkhouser, H. Gray (1930). A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2299273, 357–365.
- Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 0-8218-3413-4.
- Djukić, Dušan (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004. Springer, New York, NY. ISBN 0-387-24299-6.