Formules van Viète

In de wiskunde zijn de formules van Viète formules waarmee de coëfficiënten van een polynoom uitgedrukt worden in sommen en producten van de nulpunten. De formules zijn genoemd naar François Viète (vaak aangeduid met de gelatiniseerde vorm van z'n naam Franciscus Vieta).

De formulesBewerken

In het eenvoudige geval van een tweedegraadspolynoom

 

met nulpunten   en  , geldt:

 

en

 

De som-product-methode is gebaseerd op deze formules om in speciale gevallen de nulpunten te bepalen.

GeneralisatieBewerken

De polynoom van de graad  

 

met reële of complexe coëfficiënten, waarvan  , heeft volgens de hoofdstelling van de algebra  , eventueel samenvallende, nulpunten  .

De formules van Viète drukken de verhoudingen   met voorteken uit in sommen van producten van deze nulpunten

 

Algemeen geldt voor  :

 

De rechterleden van de formules zijn de symmetrische functies van de polynoom.

VoorbeeldBewerken

Voor de vierdegraadspolynoom

 ,

met nulpunten  , zien de formules er als volgt uit:

 
 
 
 

GeschiedenisBewerken

De formules zijn ontdekt door en genoemd naar de 16e-eeuwse Franse wiskundige François Viète, voor het geval van positieve nulpunten. Naar de mening van de 18e-eeuwse Britse wiskundige Charles Hutton werd het algemene principe het eerst begrepen door de 17e-eeuwse Franse wiskundige Albert Girard.

Zie ookBewerken

LiteratuurBewerken

  • Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2299273 (1930), 357–365.
  • Vinberg, E. B., A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I (2003). ISBN 0-8218-3413-4.
  • Djukić, Dušan, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004. Springer, New York, NY (2006). ISBN 0-387-24299-6.