Formules van Viète

In de wiskunde zijn de formules van Viète formules waarmee de coëfficiënten van een polynoom uitgedrukt worden in sommen en producten van de nulpunten. De formules zijn genoemd naar de 16e-eeuwse Franse wiskundige François Viète, vaak aangeduid met de gelatiniseerde vorm van z'n naam Franciscus Vieta.

Viète stelde de formules op voor het geval van positieve nulpunten. Naar de mening van de 18e-eeuwse Britse wiskundige Charles Hutton werd het algemene principe het eerst begrepen door de 17e-eeuwse Franse wiskundige Albert Girard.

De formules

bewerken

In het eenvoudige geval van een tweedegraadspolynoom

 

met nulpunten   en  , geldt:

 

en

 

De som-product-methode is gebaseerd op deze formules om in speciale gevallen de nulpunten te bepalen.

Generalisatie

bewerken

De polynoom van de graad  

 

met reële of complexe coëfficiënten, waarvan  , heeft volgens de hoofdstelling van de algebra  , eventueel samenvallende, nulpunten  .

De formules van Viète drukken de verhoudingen   met voorteken uit in sommen van producten van deze nulpunten

 

Algemeen geldt voor  :

 

De rechterleden van de formules zijn de elementair symmetrische functies van de polynoom.

Voorbeeld

bewerken

Voor de vierdegraadspolynoom

 ,

met nulpunten  , zien de formules er als volgt uit:

 
 
 
 

Zie ook

bewerken

Literatuur

bewerken