Faculteitconform getal

Een faculteitconform getal (Eng. factorion) is een natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van de faculteiten (de faculteitssom) van zijn cijfers.

Voorbeelden

bewerken

In de volgende voorbeelden heten de getallen links de faculteitconforme getallen:

 
 
 

Opmerking

bewerken

De getallen 1 en 2 zijn niet te schrijven als een echte som. Om die reden worden 1 en 2 in een enkel geval dan ook niet tot de faculteitconforme getallen gerekend.[1]

Eigenschap

bewerken

Het aantal faculteitconforme getallen is eindig.

Bewijs

Voor een faculteitconform getal   (geschreven in het 10-tallig stelsel) dat bestaat uit   cijfers, geldt:

 

waarbij in het linkerlid het aantal nullen gelijk is aan   en in het rechterlid het aantal negens gelijk aan  . Of ook:

 

Door berekening is na te gaan dat deze laatste betrekking niet juist is voor  . Voor   gaat de laatste relatie namelijk over in

 

Het getal in het linkerlid is hier al groter dan het getal in het rechterlid. Voor   stijgt het linkerlid exponentieel en het rechterlid lineair. Met andere woorden: een bovengrens voor   is het getal   (zeven negens;  ). Waarmee de eigenschap bewezen is.

Een kleinere bovengrens

bewerken

Ook in hetgeen volgt is   een faculteitconform getal met   cijfers. Verkleining van de hierboven gevonden bovengrens van   is in enkele eenvoudige stappen te realiseren.
De faculteitssom van   is  .   is dus zeker niet groter dan dit getal, waarmee het eerste cijfer van   gelijk is aan  , en daarmee is  , met als faculteitssom  . Hieruit blijkt dat het tweede cijfer van   een   of een   is (met als eerste cijfer een  ) óf het eerste cijfers is een  .
Stel nu dat  . De faculteitssom is in dit geval  , en dat is strijdig met de veronderstelling dat het eerste cijfer van   een   is. Dus: het eerste cijfer van   is een  . En daarmee is in ieder geval  .
Via een iets ingewikkelder redenering kan zelfs worden aangetoond dat  .

Conclusie

bewerken

Uit een berekening met een computer toegepast op alle getallen tussen   en   blijkt dat de enige faculteitconforme getallen (in het 10-tallig stelsel) zijn:[2]

 

Het getal   werd in 1964 door computerberekeningen gevonden door Leigh Janes (via directe berekening) en Ron S. Dougherty (door gebruik te maken van zogenoemde derangementen) op het Davidson College (Davidson, North Carolina, USA).[3]

Benaming

bewerken

In de Nederlandse wiskundeliteratuur wordt een faculteitconform getal ook wel geldermangetal[4] genoemd, naar de Nederlandse wiskundige en informaticus Henk-Jan Gelderman (geb. 1964). De eerste publicatie in Nederland van de naam "geldermangetal" was op een website in 1998.[5]

Zie ook

bewerken
bewerken

Literatuur

bewerken
  • Joseph S. Madachy (1979): Mathematical Recreations. New York: Dover Publications; pag. 167.
  • David Wells (1986): Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen. Amsterdam: Bert Bakker; pag. 153, pag. 197.
  • Clifford Pickover (1997): Keys to Infinity. New York: John Wiley & Sons Inc.; pp. 169–171.