Dedekind-som

in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Dedekind-som, vernoemd naar de Duitse wiskundige Richard Dedekind, een bepaalde som van producten van een zaagtandfunctie. Zij wordt gegeven door een functie D van drie geheeltallige variabelen.

Dedekind introduceerde de Dedekind-som om de functionaalvergelijking van de Dedekind-eta-functie uit te drukken. Dedekind-sommen zijn vervolgens bestudeerd in de getaltheorie en hebben zich ook in een aantal problemen binnen de topologie geopenbaard. Dedekind-sommen gehoorzamen aan een groot aantal relaties op zichzelf.

Definitie

Voor de gehele getallen $p,q$ en $r\neq 0$ is de dedekind-som gedefinieerd als:

$D(p,q;r)=\sum _{n=1}^{r-1}\left(\!\!\left({\frac {pn}{r}}\right)\!\!\right)\left(\!\!\left({\frac {qn}{r}}\right)\!\!\right)$

waarin $(\!(\,\cdot \,)\!)$ de zaagtandfunctie is, gedefinieerd door

$(\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -{\tfrac {1}{2}},&{\text{als }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ,\\0,&{\text{als }}x\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

In het geval $p=1$ schrijft men wel:

$s(q,r)=D(1,q;r)$

Externe link

• R.R. Hall (York) en M.N. Huxley (Cardiff), Dedekind sums and continued fractions, ACTA ARITHMETICA LXIII.1, 1993

Bronvermelding

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Dedekind sum op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.