Cauchy-hoofdwaarde

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de Cauchy-hoofdwaarde een getal dat als waarde wordt toegekend aan een divergente integraal als divergente delen van de integraal met verschillend teken zich wederzijds opheffen. Het gaat daarbij om oneigenlijke integralen met een singulariteit in de integrand of met de grenzen .

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1

Van de oneigenlijke integraal   heeft de integrand een singulariteit in het punt  . De integraal bestaat niet, aangezien

 

en

 

De beide delen   en   zijn echter van tegengesteld teken en heffen elkaar op, zodat de Cauchy-hoofdwaarde gedefinieerd is:

 
Voorbeeld 2

De oneigenlijke integraal

 

bestaat niet, want

 

en

 .

Omdat

 ,

heffen de twee delen elkaar op en is de Cauchy-hoofdwaarde gelijk aan:

 

De Cauchy-hoofdwaarde kent op deze manier een zinvolle waarde toe aan een integraal die oneigenlijk noch als Riemannintegraal, noch als Lebesgue-integraal bestaat.

DefinitieBewerken

Er worden twee gevallen onderscheiden

Geval 1

Stel dat   en de functie   Riemann-integreerbaar is. Als de limiet

 

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[1] van de integraal en schrijft daarvoor:

 
Geval 2

Als   continu is, en de limiet

 

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[2] en schrijft daarvoor:

 

ReferentiesBewerken

  1. Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
  2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.