Hoofdmenu openen

Historische achtergrondBewerken

De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die – voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden – in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17de eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.

De boldriehoekBewerken

Een boldriehoek wordt gevormd door drie punten   en   van een boloppervlak die niet op een grootcirkel liggen en die verbonden zijn door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan halve cirkels. De punten   en   heten de hoekpunten van de boldriehoek, de bogen  , en   de zijden en de bolhoeken   en   de hoeken van de boldriehoek.

In de bolmeetkunde geldt:

  1. elke zijde van een boldriehoek is kleiner dan de som van de beide andere;
  2. de omtrek van een boldriehoek is kleiner dan die van een grootcirkel

BasisformuleBewerken

De basisformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze basisformule afleiden. Als de boldriehoek   gegeven is op een eenheidsbol, een bol met straal 1, geldt:

 

en analoog voor de andere hoeken.

De (tau)-transformatiesBewerken

Nevendriehoeken en pooldriehoekenBewerken

 
Nevenhoek

De zijden   en   van de boldriehoek   snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt   van  . De driehoek   heet de nevendriehoek van   ten opzichte van het punt  . Noemt men   de elementen van die nevendriehoek, dan is

 
 
Pooldriehoek

Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen, namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.

De grootcirkel door   van de boldriehoek   heeft twee polen. De pool die aan dezelfde kant ligt als   noemt men de pool   van  . De driehoek   gevormd door de polen van de drie hoekpunten heet de pooldriehoek van  .

In de bolmeetkunde bewijst men dat elke zijde van een der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is

 

Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm:

 ,

dan geldt deze betrekking ook voor de nevendriehoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:

 

of

  (1)

en

 

of

  (2)

Men zegt dat deze betrekkingen door een  -transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.

Sferisch excesBewerken

Het sferisch exces   van een boldriehoek is het verschil van de som der hoeken en een gestrekte hoek:

 

Er geldt   is positief en kleiner dan elke hoek.

OmtrekBewerken

Voor de omtrek van een boldriehoek geldt:

 

Formules van de halve hoeken in functie van de zijdenBewerken

  (C)
  (S)
 

De sinusregelBewerken

Uit voorgaande formules volgt:

 

In woorden: de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.

De tweede cosinusregelBewerken

Toepassing van de  -transformatie op de basisformule geeft:

 

en analoog voor de overige zijden.

De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.

De cotangensregelBewerken

De cotangensregel is een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en de overstaande hoek.

 

De rechthoekige boldriehoekBewerken

Een driehoek heet rechthoekig als een van zijn hoeken recht is. Als bijvoorbeeld de hoek   recht is, heten de beide andere hoeken   en   scheef. De zijde   is de schuine zijde en   en   zijn de rechthoekszijden. Er geldt dus  , zodat:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

De formules van DelambreBewerken

Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:

 

De analogieën van NeperBewerken

Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de analogieën van Neper:

 

Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleidBewerken

Uitdrukkingen voor de halve zijdeBewerken

Toepassing van de  -transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:

 
 
 

Uitdrukkingen voor het sferisch exces EBewerken

 

Formule van Cagnoli:

 

Formule van Euler:

 

Formule van LHuillier:

 

De eerste en de laatste formule zijn reeds logaritmisch.

ToepassingenBewerken

Navigatie en afstandsbepaling op aardeBewerken

 
Geografische coördinaten

Definitie geografische coördinatenBewerken

De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn:

  • de lengte  , dit is de hoek die de meridiaan   door   maakt met de nulmeridiaan ( ) (de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog   aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
  • de breedte  , dit is de sferische afstand   van het punt   tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.

Praktisch voorbeeld 1Bewerken

Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte   en lengte   bekend zijn.

Kortste afstand tussen twee punten op aardeBewerken

Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand   tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS), punt   en Los Angeles International Airport (LAX), punt   is de lengte van de boog   over een grtootcirkel. De geografische coördinaten van Schiphol zijn   en die van L.A. Int. Airport zijn  .

Toegepassen van de basisformule op de geografische driehoek   geeft:

 

of

 ,

zodat

 
 
 
Geografische coördinaten

Daaruit volgt

 

Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m, dus

 

De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %. Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.

Praktisch voorbeeld 2Bewerken

Koers van een schip bij afvaart
 
Geografische coördinaten

Welke koers moet een schip bij afvaart nemen, om over de kortste weg, van het punt   (Chili) naar het punt   (Nieuw-Zeeland) te varen.

 

en

 

Van de nautische boldriehoek   zijn de twee zijden   en  , en de ingesloten hoek   bekend. Het komt er dus op aan de hoek   te bepalen. De koers bij afvaart, de hoek met de meridiaan, is dan gelijk aan  .

Toepassing van de derde cotangensregel geeft:

 
 
 
 

Na enige rekenwerk volgt:

 ,

zodat

 

of

 

De koers bij afvaart moet dus   zijn.

Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.

Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom, moet bij afvaart de kompas-koers:

  (ZW)

voorliggen.