Wallis-product

In de wiskunde is het Wallis-product, dat in 1655 werd geconstrueerd door John Wallis, een voorstelling van het getal in de vorm van een oneindig product:

AfleidingBewerken

Wallis leidde zijn product af zoals dat tegenwoordig in de analyse wordt gedaan, namelijk door de waarde van   te vergelijken voor even en oneven  , en door op te merken dat de waarde van de integraal bij grote   maar weinig verandert als   met 1 verhoogd wordt. Aangezien de infinitesimaalrekening zoals we die nu kennen, toen nog niet bestond en de inzichten uit de wiskundige analyse ontbraken om te kunnen spreken over convergentie, was dit resultaat voor Wallis een stuk lastiger te bewijzen; hij was er ook niet helemaal zeker over. Achteraf blijkt het Wallis-product een eenvoudig gevolg van de later ontdekte productformule voor de sinusfunctie.

Bewijs met Eulers oneindige productformule voor de sinusfunctie[1]Bewerken

De productformule voor de sinus luidt:

 

Met   volgt dan:

 ,

dus

 

Bewijs met een integraal[2]Bewerken

Definieer

 

Pas voor   partiële integratie toe, zodat

 

ofwel

 

Herhaalde toepassing hiervan voor   levert

 

en voor   volgt

 

Samen geven deze twee vergelijkingen

 

Er geldt

 

en

 

Omdat   een dalende rij is, geldt

 

Als   gaat de linkerkant naar 1, dus wegens de insluitstelling volgt

 

De bovenstaande formule kan dus worden herschreven tot

 

Relatie met de formule van StirlingBewerken

De formule van Stirling voor   zegt dat

 

als  . Bekijk nu de eindige benaderingen van het Wallis-product, door alleen de eerste   factoren te nemen:

 

Dus kan   geschreven worden als

 

Door middel van substitutie van de formule van Stirling in deze uitdrukking (voor zowel   als  ) blijkt (na een korte berekening), dat   naar   convergeert als  .

ζ'(0)[1]Bewerken

De Riemann-zèta-functie en de Dirichlet-èta-functie zijn gedefinieerd als:

 
 

Als we een eulertransformatie op de tweede reeks toepassen, krijgen we het volgende:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Externe verwijzingenBewerken