In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een vrije groep een groep die een deelverzameling bevat zodat elk element van op precies een manier als gereduceerd woord van elementen van en hun inversen kan worden geschreven. Een soort groep die op een vrije groep lijkt, maar toch anders is, is een vrije abelse groep.

Definitie

bewerken

Een groep   met groepoperatie   is vrij over een deelverzameling   als elk element   op precies een manier geschreven kan worden als een product  , waarbij voor alle   geldt dat   en  , en voor alle   dat  . Zo'n product wordt in deze context een gereduceerd woord genoemd. Merk op dat het lege product ( ) hierbij het neutrale element ten opzichte van de groepoperatie representeert.

De machtnotatie is als volgt gedefinieerd:

  • Als  , dan geldt  .
  • Als  , dan geldt  .

Voorbeelden

bewerken
  •   is een vrije groep over  .
  • De triviale groep  , die alleen uit het neutrale element bestaat, is vrij over  .