Hoofdmenu openen
Verdubbeling van de kubus

Verdubbeling van de kubus is een van de drie beroemdste geometrische problemen die onoplosbaar zijn door constructie met passer en liniaal. Het was bekend bij Griekse mathematici en vroeger nog bij Indische mathematici.

De kubus verdubbelen betekent om bij een gegeven kubus met zijde en volume een nieuwe, grotere, kubus te construeren met volume en daardoor zijde . Deze constructie is met alleen een passer en een liniaal niet uitvoerbaar. Dit is bewezen door de Franse wiskunde Pierre-Laurent Wantzel in 1837.[1]

Inhoud

GeschiedenisBewerken

Volgens de legende consulteerden de burgers van Athene het orakel van Apollo in Delos in 430 v.Chr. om te horen hoe zij de pest, die een vernietigende werking had op hun land, moesten bestrijden. Het orakel antwoordde dat, om de pest te stoppen, zij hun altaar in grootte moesten verdubbelen. De Atheners verdubbelden plichtsgestrouw elke zijde van het altaar, en de pest verslechterde! De correcte interpretatie was dat zij het volume van het altaar moesten verdubbelen, niet slechts de lengte van de zijdes; dit bleek een zeer moeilijk oplosbaar probleem. Ten gevolge van deze legende wordt het probleem vaak het Delische probleem genoemd.

Valse aanspraken op het verdubbelen van een kubus met passer en liniaal komen veel voor in pseudo-mathematische literatuur.

Ook al is het verdubbelen van een kubus onoplosbaar in het vlak met de passer en liniaal, de oude Griekse mathematicus Archytas lukte het het probleem op te lossen in de 4e eeuw v.Chr. met behulp van een geometrische constructie in drie dimensies, aldus een zeker punt bepalend als de doorsnede van de drie rotatievlakken.

OplossingBewerken

 
Een illustratie van de passer en liniaal methode

Er zijn veel manieren om   te construeren met behulp van gereedschappen anders dan de passer en liniaal. Bijvoorbeeld, markeer op een liniaal twee punten met een afstand 1.

  • maak een gelijkzijdige driehoek   met zijde lengte 1,
  • verleng de zijde   met een lijnstuk   van lengte 1;
  • verleng de zijde   om de straal   te vormen;
  • teken de straal  ;
  • bepaal met de liniaal de punten G op   en H op  , met onderlinge afstand 1, die met het punt A op één lijn liggen.

De afstand AG is dan precies  .

Andere, meer gecompliceerde methodes van verdubbelen van de kubus omvatten de cissoïde van Diocles of de conchoïde van Nicomedes.

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken