Toeplitz-operator

In de operatorentheorie, een deelgebied van de wiskundige analyse, is een Toeplitz-operator een lineaire operator in de Hardy-ruimte $H^{2}$ geassocieerd met een gegeven begrensde functie.

Definitie

We noteren de eenheidscirkel als de eendimensionale torus $\mathbb {T} ,$ wat hetzelfde is als het gesloten interval $[0,2\pi ]$ met de eindpunten geïdentificeerd. $L^{2}({\mathbb {T} })$ is de Hilbertruimte van kwadratisch integreerbare complexwaardige periodieke functies met periode $2\pi .$ De Hardyruimte $H^{2}$ is hiervan een gesloten deelruimte. Zij $P$ de loodrechte projectie van vectoren van $L^{2}({\mathbb {T} })$ op $H^{2}.$

De Toeplitz-operator $T_{\varphi }$ geassocieerd met een essentieel begrensde functie $\varphi \in L^{\infty }({\mathbb {T} })$ is het resultaat van de vermenigvuldiging met $\varphi$ gevolgd door loodrechte projectie:

$T_{\varphi }:H^{2}\to H^{2}:f\mapsto P(\varphi f)$

Verband met Toeplitz-matrices

De meest gebruikte orthonormale basis voor $H^{2}$ bestaat uit de goniometrische functies

$\chi _{n}:{\mathbb {T} }\to {\mathbb {C} }:t\mapsto e^{int},\ n\in {\mathbb {N} }$

Als $\varphi$ een essentieel begrensde periodieke functie is met Fouriercoëfficiënten

${\hat {\varphi }}(n)={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{-n}(t)\,dt$

dan worden de matrixelementen $a_{m,n}$ van $T_{\varphi }$ ten opzichte van die orthonormale basis gegeven door

$a_{m,n}=(T_{\varphi }\chi _{n},\chi _{m})={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{m-n}(t)\,dt={\hat {\varphi }}(m-n).$

Met andere woorden is de matrix van $T_{\varphi }$ constant op de diagonalen, wat precies de voorwaarde is voor een (eindige) Toeplitz-matrix.

Bronnen, noten en/of referenties