Wikipedia

Normaaldeler: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
k interwiki
aanpassing aan nieuw artikel "factorgroep";extra voorbeelden;kleine correcties
Regel 1:
In de [[wiskunde|wiskundige]] [[groepentheorie]] is een '''normaaldeler''' (synoniem: ''normale deelgroep'') een [[deelgroep (wiskunde)|deelgroep]] waarvan de [[nevenklasse]]n op natuurlijke wijze een groep vormen, [[quotiëntgroep]] of [[factorgroep]] genaamd.
 
==Definitie==
Regel 15:
Als <math>G</math> [[abelse groep|abels]] is, dan is elke deelgroep normaal omdat <math>g^{-1}\cdot d\cdot g=d</math>.
 
Algemener is het [[centrum (algebra)|centrum]] <math>''Z''(''G'')</math> van een groep (de elementen die met ieder ander element commuteren), een normaaldeler van <math>G</math>. Ook elke deelgroep van ''Z''(''G'') is normaal in ''G''.
 
In de [[permutatie|permutatiegroep]] op een eindige verzameling met <math>n</math> elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde [[alternerende groep]] <math>\mathcal{A}_n</math>.
 
De [[kern (wiskunde)|kern]] van een [[isomorfismehomomorfisme]] van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het [[neutraal element]]. Het is steeds een normaaldeler.
 
In de permutatiegroep <math>\mathcal{S}_3</math> is de deelgroep <math>\left\{\hbox{id},(1 2)\right\}</math> (de cyclische deelgroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) ''geen'' normaaldeler, omdat <math>(1 3)(1 2)(1 3)=(2 3)</math>
Regel 27:
In de [[Lie-groep]] <math>SO(3)</math> der [[rotatie]]s in <math>\mathbb{R}^3</math> vormen de rotaties om de <math>z</math>-as een deelgroep die niet normaal is. Men noemt <math>SO(3)</math> simpel omdat hij geen echte Lie-deelgroepen heeft die normaal zijn.
 
In de groep ''GL''(''n'',''K'') der omkeerbare ''n''x''n''-[[matrix (wiskunde)|matrices]] over een [[lichaam (wiskunde)|lichaam]] ''K'', is de deelgroep ''SL''(''n'',''K'') der matrices met [[determinant]] 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.
==Factorgroep==
Als <math>D</math> een deelgroep is van <math>G</math>, en <math>g\in G</math>, dan noemt men▼
 
==Nevenklassen==
<math>gD:=\left\{g\cdot d|d\in D\right\}</math>▼
▲Als <math>''D</math>'' een deelgroep is van <math>''G</math>'', en <math>''g\in'' is een element van ''G</math>'', dan noemt men
 
▲:<math>gD:=\left\{g\cdot d|d\in D\right\}</math>
de ''linkernevenklasse van <math>D</math> met vertegenwoordiger <math>g</math>.'' De verzameling van alle linkernevenklassen van <math>''D</math>'' noteren we <math>''G/D</math>.'' Ze vormt een [[Partitie (wiskunde)|partitie]] van <math>G</math>. Analoog voor <math>''G\setminus D</math>'', de partitie der rechternevenklassen van <math>''D</math>''. Als <math>G</math>''D'' abelseen normaaldeler is, vallen deze twee noties samen en spreken we kortweg van nevenklassen. In dat geval wordt op ''G/D'' ook een groepsbewerking gedefinieerd. Deze groep heet de [[factorgroep]] of ''quotiëntgroep''. De afbeelding
 
:<math>gDG\cdotto hDG/D:=(g\cdotmapsto h)DgD</math>▼
Als <math>D\triangleleft G</math>, dan kan als volgt een groepsbewerking op <math>G/D</math> worden gedefinieerd:
is een homomorfisme van groepen met ''D'' als kern. Hieruit volgt dat een deelgroep normaal is ''als en slechts als'' hij de kern van een homomorfisme is.
 
▲<math>gD\cdot hD:=(g\cdot h)D</math>
 
(Om te bewijzen dat het resultaat niet afhangt van de gekozen vertegenwoordigers <math>g</math> en <math>h</math>, gebruiken we het feit dat <math>D</math> normaal is)
 
De verzameling <math>G/D</math> met deze groepsbewerking heet de ''factorgroep'' of ''quotiëntgroep''. De afbeelding <math>G\to G/D:g\mapsto gD</math> is een isomorfisme van groepen met <math>D</math> als kern.
 
==Normalisator==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Normaaldeler"