Versie van 18 mrt 2007 18:45 bewerken Qwertyus (overleg \| bijdragen) 10.947 bewerkingen k →‎Intuïtionistische formele logica ← Oudere bewerking		Versie van 22 apr 2007 14:12 bewerken ongedaan maken Riki (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 45.344 bewerkingen kGeen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 7: In het intuïtionisme bestaan wiskundige objecten alleen als ze in de loop van de tijd geconstrueerd kunnen worden, en het enige geldige bewijs van bestaan is een recept voor een dergelijke constructie. Dat wil zeggen, het intuïtionisme verwerpt de bewijsmethode van het [[Reductio ad absurdum\|bewijs uit het ongerijmde]]: Indien men aanneemt dat iets niet bestaat, en daaruit een tegenspraak afleidt, geldt dat niet als een bewijs dat het bestaat. Immers, uit de tegenspraak volgt nog geen recept voor constructie. Een mooi voorbeeld hiervan is ~~Brouwer's~~Brouwers beroemde [[vastepuntstelling van Brouwer\|vastepuntstelling]] uit de klassieke [[topologie]]. Men kan bewijzen dat het onmogelijk is om (onder de voorwaarden van de stelling) altijd een constructie van een vast punt te leveren. Hiermee is ~~Brouwer's~~Brouwers vastepuntstelling intuïtionistisch onwaar. Brouwer gaf wel intuïtionistische alternatieven voor zijn klassieke stelling. ==Intuïtionistische formele logica== In de intuïtionistische [[formeel systeem\|formele logica]], die contrasteert met de [[klassieke logica]], is derhalve de regel van de [[uitgesloten derde]] (voor elke uitspraak ''P'' geldt: ''P'' is waar OF 'niet ''P'' ' is waar) niet geldig. Deze regel, die sinds de klassieke oudheid in de wiskunde is toegepast, werd door Brouwer bestreden. De eerste formalisering van het intuïtionisme werd voltooid in [[1928]] door [[Arend Heyting]]. Brouwer zelf was niet onder de indruk; hij noemde Heytings werk een 'steriele exercitie'.<ref>Walter P. van Stigt (1990). ''Brouwer's Intuitionism''. Amsterdam: North Holland.</ref>▼ ▲In de intuïtionistische [[formeel systeem\|formele logica]], die contrasteert met de [[klassieke logica]], is derhalve de regel van de [[uitgesloten derde]] (voor elke uitspraak ''P'' geldt: ''P'' is waar OF 'niet ''P'' ' is waar) niet geldig. Deze regel, die sinds de klassieke oudheid in de wiskunde is toegepast, werd door Brouwer bestreden. De eerste formalisering van het intuïtionisme werd voltooid in 1928 door [[Arend Heyting]]. Brouwer zelf was niet onder de indruk; hij noemde Heytings werk een 'steriele exercitie'.<ref>Walter P. van Stigt (1990). ''Brouwer's Intuitionism''. Amsterdam: North Holland.</ref> Intuïtionistische formele logica wordt veel gebruikt in de [[informatica]]. Een van de redenen hiervoor is dat algoritmische [[berekenbaarheid]] van wiskundige entiteiten samenhangt met een bewijs van bestaan in de intuïtionistische logica. Een andere reden is dat correctheidsbewijzen van algoritmen makkelijker verlopen via intuïtionistische logica. ==Constructieve wiskunde== Het blijkt mogelijk te zijn om een volwaardige wiskunde op te bouwen uitgaande van de intuïtionistische [[axioma\|axioma's]]. Het enige intuïtionistische [[axioma]] dat niet in overeenstemming is met de klassieke wiskunde is het zogenaamde [[continuïteitsprincipe]] (CP). Vanwege de opmars van de [[computer,]] is de interesse in [[Constructivisme (wiskunde)\|constructieve wiskunde]] (waar intuïtionisme grotendeels toe gerekend wordt) de laatste decennia sterk toegenomen. Men is meer geïnteresseerd geraakt in de principiële berekenbaarheid van wiskundige entiteiten, en de constructieve wiskunde biedt hiervoor een passend kader. Veel van de klassieke wiskunde is niet-constructief. Soms is dit essentieel (bijvoorbeeld wanneer de betreffende stelling intuïtionistisch onwaar is), soms is er een constructieve herformulering van de betreffende stelling mogelijk.

Intuïtionisme: verschil tussen versies