Toegevoegde operator: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
nieuw artikel |
nieuw artikel, tweede poging |
||
Regel 1:
De [[functionaalanalyse]]
==Definitie==
Zijn ''X'' en ''Y'' [[norm (wiskunde)|genormeerde ruimten]], en <math>T:X\to Y</math> een [[
Noteer ''X''<sup>*</sup> voor de duale [[topologische vectorruimte]] van ''X'' met de zwak-*-topologie. De elementen van ''X''<sup>*</sup> zijn de continue lineaire afbeeldingen van ''X'' naar zijn scalairenlichaam <math>\mathbb{K}</math> (de reële of de complexe getallen). Zij ''Y''<sup>*</sup> de duale van ''Y''.
De '''
:<math>T^*:Y^*\to X^*:y^*\mapsto y^*\circ T</math>
Regel 21:
==Getransponeerde matrix==
Als ''X'' en ''Y'' eindigdimensionaal zijn, en voor beiden wordt een vaste [[basis (
De duale ruimten beschikken dan elk over een canonieke duale basis. Ten opzichte van deze duale basissen heeft ''T''<sup>*</sup> als matrix, de [[getransponeerde matrix|getransponeerde]] van de matrix van ''T''.
==Hilbertruimten==
Als ''X'' en ''Y'' (pre-)[[Hilbertruimte]]n zijn, dan zijn ze beiden uitgerust met een [[inwendig product]]. Het inwendig product zorgt voor een natuurlijke identificatie van de ruimte met haar duale:
:<math>x^*(w)\equiv\
In ''complexe'' Hilbertruimten (<math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math>) geldt de bijkomende complicatie dat het inproduct niet symmetrisch, maar Hermitisch is. In de matrixnotatie heeft dit als gevolg dat de toegevoegde operator niet de getransponeerde matrix heeft, maar de [[complex geconjugeerde]] van de getransponeerde matrix.
Regel 34:
Men spreekt in dit verband van de ''toegevoegde matrix''. Opgelet: in Wikipedia NL betekent de term [[geadjugeerde matrix]] iets anders.
===Zelftoegevoegde continue
Als ''T'' een continue lineaire transformatie is van een Hilbertruimte (''X''=''Y''), dan kunnen ''T'' en ''T''<sup>*</sup> met elkaar vergeleken worden. In het eindigdimensionale geval komt dit overeen met vierkante matrices.
Regel 42:
De [[kwantummechanica]] maakt vaak gebruik van lineaire transformaties van een deelverzameling van de Hilbertruimte die niet kunnen worden uitgebreid tot ''continue'' lineaire transformaties van de gehele Hilbertruimte. Een klassiek voorbeeld is de [[Laplace-operator]] <math>\Delta</math> in <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>.
Als <math>T:D\subset H\to H</math> een (niet noodzakelijk continue) lineaire afbeelding is van een deelvectorruimte ''D'' van de Hilbertruimte naar diezelfde Hilbertruimte, en het domein ''D'' van ''T'' is topologisch [[dicht (wiskunde)|dicht]] in ''H'', dan kan men nog steeds de toegevoegde operator ''T''<sup>*</sup> definiëren met het voorschrift
:<math>\
Het domein van ''T''<sup>*</sup> bestaat uit de vectoren ''y'' waarvoor het linkerlid een continue lineaire functionaal in ''x'' oplevert.
===Symmetrische onbegrensde operator===
''T'' heet ''symmetrisch'' als <math>\hbox{dom}(T)\subset\hbox{dom}(T^*)</math> en <math>\forall x\in\hbox{dom}(T):T^*x=Tx.</math>
===Zelftoegevoegde onbegrensde operator===
''T'' heet ''zelftoegevoegd'' als <math>\hbox{dom}(T)=\hbox{dom}(T^*)</math> en <math>\forall x\in\hbox{dom}(T):T^*x=Tx.</math>
[[Categorie:Functionaalanalyse]]
[[Categorie:Lineaire algebra]]
[[en:Hermitian adjoint]]
| |||