Tralie (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
geschiedenis |
geen impliciete definitie, geschiedenis na inleiding |
||
Regel 1:
[[Bestand:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|300px|thumb|
In de [[wiskunde]] is een '''tralie''' een [[
De hasse-diagram van een tralie kan uit meer dan een component bestaan.
== Definitie ==▼
Een ''tralie'' <math>(L, \le, \lor, \land)</math> is een partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math>, waarin voor elk tweetal elementen <math>x</math> en <math>y</math> de verzameling <math>\{x,y\}</math> zowel een supremum (= kleinste bovengrens) <math>x \lor y</math> als een infimum (= grootste ondergrens) <math>x \land y</math> heeft. ▼
== Geschiedenis ==
▲== Definitie ==
De symbolen <math>\lor</math> en <math>\land</math> zijn als volgt gedefinieerd:
: <math>x \lor y</math> staat voor <math>\sup \{ x,y \}</math> en
: <math>x \land y</math> voor <math>\inf \{ x,y \}</math>
Een supremum is een kleinste [[Bovengrens en ondergrens|bovengrens]], een infimum een grootste [[Bovengrens en ondergrens|ondergrens]].
▲Een ''tralie'' <math>(L, \le, \lor, \land)</math> is een partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math>, waarin voor elk tweetal elementen <math>x</math> en <math>y</math> de verzameling <math>\{x,y\}</math> zowel een supremum
Uit de definitie volgt direct dat elke eindige (niet-lege) deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft. Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet ''begrensd''. Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een [[Begrensdheid|begrensde]] tralie.
=== Dualiteit ===▼
Door omkering van de ordening ontstaat uit een tralie een andere tralie, waarin als het ware de begrippen groter en kleiner omgewisseld zijn. Is <math>(L, \le, \lor, \land)</math> een tralie, dan is ook <math>(L, \ge, \land, \lor)</math> er een.▼
=== Ordening ===
De ordening en de begrippen supremum en infimum zijn
:<math>x \le y \Leftrightarrow x = x \land y</math>
of equivalent door
Regel 22 ⟶ 25:
Dus:
:<math>x \le y \Leftrightarrow x = x \land y \Leftrightarrow x \le' y </math>.
▲=== Dualiteit ===
▲Door omkering van de ordening ontstaat uit een tralie een andere tralie, waarin als het ware de begrippen groter en kleiner omgewisseld zijn. Is <math>(L, \le, \lor, \land)</math> een tralie, dan is ook <math>(L, \ge, \land, \lor)</math> er een.
== Algebraïsche structuur ==
Doordat in een tralie bij elk tweetal elementen <math>x</math> en <math>y</math> de elementen <math>x \lor y</math> en <math>x \land y</math> bestaan, zijn <math>\land</math>
=== Definitie ===
Een algebraïsche structuur <math>(L, \le, \lor, \land)</math>, gevormd door een verzameling <math>L</math> met daarop gedefinieerd twee binaire bewerkingen, <math>\lor</math>
[[associativiteit]]
Regel 33 ⟶ 39:
:<math>a \land (b \land c) = (a \land b) \land c</math>
[[
:<math>a \lor b = b \lor a</math>
:<math>a \land b = b \land a</math>
[[Absorberend element|
:<math>a \lor (a \land b) = a</math>
:<math>a \land (a \lor b) = a</math>
Van deze eigenschappen zijn de associativiteit en commutativiteit tamelijk gewoon voor binaire bewerkingen. Het bijzondere schuilt hier in de
=== Idempotentie ===
Regel 53 ⟶ 59:
=== Dualiteit ===
Ook hier is sprake van dualiteit. Als <math>(L, \le, \lor, \land)</math> een tralie is, is ook <math>(L, \ge, \land, \lor)</math> er een.
=== Voorbeeld ===
Regel 68 ⟶ 74:
== Equivalentie van beide definities ==
Het is
Omgekeerd kan een partiële ordening <math>
:<math>x \le y </math> als <math>x = x \land y</math>.
Regel 81 ⟶ 87:
:<math>x \le y \Rightarrow x = x \land y</math>, dus <math> x \lor y = (x \land y) \lor y = y</math>.
Het is
:<math>x = x \land (x \lor y)</math>, dus <math>x \le x \lor y</math>
:<math>y = y \land (y \lor x)</math>, dus <math>y \le y \lor x = x \lor y </math>.
Regel 105 ⟶ 111:
We zien dus dat een tralie in de eerste zin ook een tralie in de tweede zin is en omgekeerd. Bovendien hebben we gezien dat als de bewerkingen in de algebraïsche tralie overeenkomen met die in de ordeningstralie, de door de bewerkingen geïnduceerde partiële ordening dezelfde is als de oorspronkelijke. Daarmee zijn de twee begrippen tralie geheel uitwisselbaar en kan al naargelang de toepassing de daartoe meest geschikte vorm gekozen worden.
==
In de [[formeleconceptanalyse]] maakt men gebruikt van tralies voor het analyseren van gegevens die voorliggen als een
▲Op het einde van de negentiende eeuw introduceerden [[Charles Sanders Peirce]] en [[Ernst Schröder]] het traliebegrip bij hun onderzoek naar de axiomatisering van [[Booleaanse algebra]]s. Richard Dedekind kwam onafhankelijk van hen tot de ontdekking van hetzelfde begrip via zijn onderzoek naar [[Ideaal (ringtheorie)|idealen]] van algebraïsche getallen. Hun ideeën, evenmin als the vroege resultaten van [[Edward Huntington]], trokken weinig aandacht. De algemene ontwikkeling van de tralietheorie begon met het werk van [[Garrett Birkhoff]] in het midden van de jaren 1930.<ref name="gratzer">Inleiding tot: Grätzer, George, "General Lattice Theory," Pure and Applied Mathematics '''75''', Academic Press 1978.</ref>
▲In de [[formeleconceptanalyse]] maakt men gebruikt van tralies voor het analyseren van gegevens die voorliggen als een binaire relatie: "object <math>x</math> heeft eigenschap <math>y</math>".
== Volledige tralie ==
Regel 120 ⟶ 123:
Iedere volledige tralie is begrend, en iedere eindige niet-lege tralie is volledig en dus ook begrensd.
{{Appendix|Voetnoten}}
{{DEFAULTSORT:Tralie (wiskunde)}}
Regel 126 ⟶ 129:
[[Categorie:Tralietheorie| ]]
[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Ordetheorie]]▼
[[Categorie:Discrete wiskunde]]
▲[[Categorie:Ordetheorie]]
[[Categorie:Wiskundige structuur]]
| |||