Machtreeks: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Robotgeholpen doorverwijzing: Convergentie - Koppeling(en) gewijzigd naar convergentie (wiskunde) |
k →Reële machtreeksen: Verbetering aan de hand van Wikipedia:Wikiproject/Check Wikipedia met AWB |
||
Regel 21:
*In een [[interval (wiskunde)|interval]] waarvan <math>a</math> het middelpunt is. In dat geval kunnen de grenzen van het interval al dan niet open of gesloten zijn.
*Voor alle waarden van <math>x</math>
In het tweede geval wordt het interval het convergentie-interval genoemd. De convergentie of divergentie in de grenspunten van dat interval kan dan nagegaan worden door de grenzen in de te vullen in de machtreeeks waardoor een gewone reeks ontstaat. In het derde geval is het convergentie-interval de volledige reële as. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de [[Taylorreeks
De '''afgeleide machtreeks''' ontstaat door de oorspronkelijke machtreeks af te leiden naar haar variabele <math>x</math>. Afleiden naar de index <math>n</math> heeft geen zin omdat de reeks als geheel geen functie van <math>n</math> is maar enkel van <math>x</math>. En zelfs moest de reeks afhangen van <math>n</math> zou ze toch niet naar <math>n</math> kunnen worden afgeled omdat <math>n</math> geen reële maar een [[natuurlijk getal|natuurlijke]] variabele is. De afgeleide reeks is dus
Regel 51:
:in <math>x = \frac{9}{2}</math> : <math>\sum_1 \frac{2n(-1)^{n-1}}{n^2+3}</math>
:in <math>x = \frac{11}{2}</math> : <math>\sum_1 \frac{2n}{n^2+3}</math>
Van deze twee reeksen is de eerste convergent, opnieuw wegens het criterium van Leibniz. De tweede is divergent wat volgt uit de [[
Het convergentie-interval van de afgeleide machtreeks is dus
:<math>[\frac{9}{2},\frac{11}{2}[</math>
| |||