Rij (wiskunde): verschil tussen versies

:<math>(\ldots,a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)=(a_n)_{n=-\infty}^\infty=(a_n)_{n\in\Z}</math>

 

Een '''oneindige rij met eerste element''' is een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] met domein <math>\{1,2,3,\ldots\}</math> Het argument is het [[rangnummer]]. Een '''eindige rij''' van <math>k</math> elementen is een afbeelding met domein <math>\{1,2,3,\ldots,k\},</math> zie ook [[tupel]]. Een '''oneindige rij met laatste element''' is een afbeelding met domein <math>\{\ldots,-2,-1,0\}.</math> Een '''tweezijdig oneindige rij''' is een afbeelding met domein <math>\Z</math>. Met een rij in <math>V</math> wordt bedoeld dat het [[codomein]] <math>V</math> is. De [[Beeld (wiskunde)|beeld]]en worden ''elementen van de rij'' genoemd. De afbeelding hoeft niet [[injectief]] te zijn, dat wil zeggen dat een element van <math>V</math> meer dan één keer in de rij kan voorkomen.

 

Vaak zal men van [[oneindige verzameling|oneindige]] rijen willen weten of een gegeven rij een [[limiet]] heeft. Is er zo'n limiet dan heet de rij convergent, anders divergent.

 

:<math>y_n=\tfrac1n</math>

:<math>\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0</math>

 

***Nu zeggen we simpelweg dat de rij divergeert.

 

*De rij is geen [[cauchyrij]], de rij divergeert.

*De rij is een cauchyrij, maar de elementen van de rij naderen naar een buiten <math>V</math> gelegen waarde. De rij heeft geen limiet in <math>V.</math>

 

Alle rijen die tot nu toe als voorbeeld zijn behandeld, <math>(x_n)</math>, <math>(f_n)</math> en <math>(y_n )</math>, zijn strikt monotone rijen: de eerste en de tweede zijn strikt monotoon stijgend, de derde is strikt monotoon dalend. Daarentegen is de volgende rij niet monotoon, en dus ook niet strikt monotoon:

Deze rij is ''alternerend'', wat betekent dat de elementen steeds van teken verschillen. De rij is convergent, namelijk naar 0.