Wikipedia

Ruimtegroep: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerking
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Geen bewerkingssamenvatting
 
Regel 1:
In de [[kristallografie]] en de [[groepentheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], geeft een '''ruimtegroep''' (of '''Fedorov-groep''') een beschrijving van de [[symmetrie]] van een [[kristalKristal (natuurwetenschappen)|kristal]]. Het is een [[groep (wiskunde)|groep]] van symmetrie-[[Operator (wiskunde)|operatorsymmetrie-bewerkingen]]en, die de [[ruimteRuimte (wiskunde)|ruimte]] vult. Ruimtegroepen bestaan uit een combinatie van [[translatiesymmetrieRotatiesymmetrie|translatierotatie-]], [[Spiegelsymmetrie|spiegel-]] en [[rotatiesymmetrietranslatiesymmetrie]]ën.
 
== Geschiedenis ==
De ruimtegroepen in drie [[dimensie (algemeen)|dimensie]]s werden in 1891 voor het eerst geclassificeerdin 1891 door [[Evgraf Fedorov]] geclassificeerd en kort daarna en onafhankelijk daarvan kort daarna, in 1894, door de [[geologie|geoloog]] [[William Barlow]] en door de [[wiskunde|wiskundige]], [[Arthur Moritz Schoenflies]]. Deze eerste classificaties bevatten nog verschillende kleine fouten. De correcte lijst van precies 230 ruimtegroepen in drie dimensies kwam tot stand in een correspondentie tussen Fjodorov en Schönflies.
 
== Ruimtegroepen en dimensie van de ruimte ==
* Een [[Patroon (vorm)|patroon]], dat [[translatieTranslatie (meetkunde)|translatietranslaties]]s in precies één dimensie, in één (richting) bevat, heet een [[patroon (vorm)|strookpatroon]]. Er zijn exactdaarvoor zeven mogelijkheden, er zijn 7zeven '''[[strookpatroongroep]]en'''.
 
* AlHet meerdereis eeuwenal iseeuwen bekend dat er in [[2 (getal)Tweedimensionaal|twee]] [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] precies 17 verschillende ruimtegroepen zijn. Die worden '''[[behangpatroongroep]]en''' genoemd. Een patroon in 2twee dimensies zonder translatie, met (alleen rotatie en eventueel [[spiegeling]]), wordt een [[Rozet (patroon)|rozet]] genoemd.
 
* InEr zijn in de 3-dimensionale[[Driedimensionaal|driedimensionale]] ruimte zijn er zonder onderscheid tussen x-, y- en z- richting 219 '''ruimtegroepen''',. doorDoor onderscheid te maken tussen x-, y- en z-richting komen 11 groepen voor als [[Chiraliteit (wiskunde)|enantiomorfe paren]]. Dit brengt het totaal op precies 230 verschillende 3-dimensionaledriedimensionale ruimtegroepen.
: Ruimtegroepen zijn vooral voor de [[kristallografie]] en de structuurbepaling middels [[Röntgenkristallografie|röntgendiffractie]] van groot belang. VoorHet is voor de bepaling van [[magnetismeMagnetisme|magnetische]] structuren middels [[neutronendiffractie]] is hetook nodig ook rekening te houden met de richting van ongepaarde [[spinSpin (natuurkundekwantummechanica)|elektronspinelektronspins]]s rekening te houden. Dit kan geschieden door de ruimtegroepen uit te breiden met een nieuw [[Puntgroep#Begrippen|symmetrie]]-element]] R, dat wel wordt tijdsinversie genoemd wordt. Dit element keert de richting van een spin om zonder verder iets aan de [[atomaire structuur]] te veranderen. Door dit extra ''[[Genererende verzameling (groepentheorie)|genererendgenererende element]]'' worden, net als bij de puntgroepen, ''dubbelgroepen'' gevormd en zo verkrijgtkrijgt men de 1651 ''magnetische ruimtegroepen''.
 
* InDe striktenaam zinruimtegroep wordt dein naamstrikte ruimtegroepzin gebruikt voor de driedimensionale [[euclidische ruimte]]. In de [[wiskunde]] worden ruimtegroepen soms ook in meer dan 3drie dimensies bestudeerd. Inen worden in dat geval worden zij soms [[bieberbach-groep]]engroepen genoemd. Bieberbach-groepen zijn discrete nevencompacte (cocompacte) [[groepGroep (wiskunde)|groepgroepen]]en van [[Isometrie (wiskunde)|isometrieën]] van een [[oriëntatieOriëntatie (meetkundestand)|georiënteerde]] euclidische ruimte.
 
== Klassificatie van de 230 ruimtegroepen ==
De 230 ruimtegroepen, en dus ook de [[Kristal (natuurwetenschappen)|kristallen]], die de symmetrie-elementen van een van deze hebben, kunnen onderverdeeld worden naar de 7zeven [[Kristalstructuur|kristalstelsels]], of naar de 14 [[Bravaistralie|bravaisroosters]], en naar de 32 [[Puntgroep|kristallografische puntgroepen]] worden onderverdeeld. Omgekeerd genereren de 14 bravaisroosters en de 32 puntgroepen samen de 230 ruimtegroepen. Er zijn {{nowrap|1= 14 x 32 = 448}} mogelijke combinaties., maar dit aantal wordt Vanwegevanwege [[isomorfisme]] wordt dit aantal teruggebracht tot 230 verschillende ruimtegroepen teruggebracht.
 
{{Zie hoofdartikel|Kristalstructuur|Bravaistralie|Puntgroep}}
 
Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de [[hermann-mauguinnotatie]];. deDe symbolen voor de bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine, (meestal per land- land bepaalde) notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230.<ref>{{Bronvermelding anderstalige Wikipedia|taal=fr|titel=Groupe d'espace|oldid=61720762|datum=20110128|sectie=''Klassificatie van de 230 ruimtegroepen''}}</ref>
<!---- twee lege regels ---->
 
 
{| class="wikitable"
|- align=center
| bgcolor=#c0ffff | Puntgroeppuntgroep
| bgcolor=#a0ff80 | Nummernummer
| bgcolor=#c0ffff colspan=8| Ruimtegoepruimtegoep naar puntgroep en naar kristalstelsel
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8 | [[Triklien kristalstelsel|Triklientriklien]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 1
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>1</small>
| ''P''1 || colspan=7|&nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | {{overline|1}}
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>2</small>
| ''P''{{overline|1}} || colspan=7 | &nbsp;
 
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Monoklien kristalstelsel|Monoklienmonoklien]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>3-5</small>
| ''P''2 || ''P''2<sub>1</sub> || ''C''2 || colspan=5 | &nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | ''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>6-9</small>
| ''Pm'' || ''Pc'' || ''Cm'' || ''Cc'' || colspan=4 | &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 2/''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>10-15</small>
| ''P''2/''m'' || ''P''2<sub>1</sub>/''m'' || ''C''2/''m'' || ''P''2/''c'' || ''P''2<sub>1</sub>/''c'' || ''C''2/''c'' || colspan=2 | &nbsp;
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8 | [[OrthorhombischOrthorombisch kristalstelsel|Orthorombischorthorombisch]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2 | 222
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>16-24</small>
| ''P''222 || ''P''222<sub>1</sub> || ''P''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || ''C''222<sub>1</sub> || ''C''222 || ''F''222 || ''I''222
|- valign=top
| ''I''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || colspan=7 | &nbsp;
 
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=3 | ''mm''2
Regel 77 ⟶ 76:
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=4 | ''mmm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=4 | <small>47-74</small>
| width=72| ''Pmmm'' || width=72| ''Pnnn'' || width=72| ''Pccm'' || width=72| ''Pban'' || width=72| ''Pmma'' || width=72| ''Pnna'' || width=72| ''Pmna'' || width=72| ''Pcca''
|- valign=top
Regel 88 ⟶ 87:
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Tetragonaal kristalstelsel|Tetragonaaltetragonaal]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 4
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>75-80</small>
| ''P''4 || ''P''4<sub>1</sub> || ''P''4<sub>2</sub> || ''P''4<sub>3</sub> || ''I''4 || ''I''4<sub>1</sub> || colspan=2|&nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | {{overline|4}}
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>81-82</small>
| ''P''{{overline|4}} || ''I''{{overline|4}} || colspan=6 | &nbsp;
 
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 4/''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>83-88</small>
| ''P''4/''m'' || ''P''4<sub>2</sub>/''m'' || ''P''4/''n'' || ''P''4<sub>2</sub>/''n'' || ''I''4/''m'' || ''I''4<sub>1</sub>/''a'' || colspan=2 | &nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2 | 422
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>89-98</small>
| ''P''422 || ''P''42<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>1</sub>22 || ''P''4<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>2</sub>22 || ''P''4<sub>2</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>3</sub>22 || ''P''4<sub>3</sub>2<sub>1</sub>2
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''I''422 || ''I''4<sub>1</sub>22 || colspan=6| &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2 | 4''mm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>99-110</small>
| ''P''4''mm'' || ''P''4''bm'' || ''P''4<sub>2</sub>''cm'' || ''P''4<sub>2</sub>''nm'' || ''P''4''cc'' || ''P''4''nc'' || ''P''4<sub>2</sub>''mc'' || ''P''4<sub>2</sub>''bc''
|- valign=top
| ''I''4''mm'' || ''I''4''cm'' || ''I''4<sub>1</sub>''md'' || ''I''4<sub>1</sub>''cd'' || colspan=4 | &nbsp;
 
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2 | {{overline|4}}2''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>111-122</small>
| ''P''{{overline|4}}2''m'' || ''P''{{overline|4}}2''c'' || ''P''{{overline|4}}2<sub>1</sub>''m'' || ''P''{{overline|4}}2<sub>1</sub>''c'' || ''P''{{overline|4}}''m''2 || ''P''{{overline|4}}''c''2 || ''P''{{overline|4}}''b''2 || ''P''{{overline|4}}''n''2
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''I''{{overline|4}}''m''2 || ''I''{{overline|4}}''c''2 || ''I''{{overline|4}}2''m'' || ''I''{{overline|4}}2''d'' || colspan=4 | &nbsp;
 
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=3 | 4/''mmm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=3 | <small>123-142</small>
| ''P''4/''mmm'' || ''P''4/''mmc'' || ''P''4/''nbm'' || ''P''4/''nnc'' || ''P''4/''mbm'' || ''P''4/''nnc'' || ''P''4/''nmm'' || ''P''4/''ncc''
|- valign=top
| ''P''4<sub>2</sub>/''mmc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mcm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nbc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nnm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mbc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mnm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nmc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''ncm''
|- valign=top
| ''I''4/''mmm'' || ''I''4/''mcm'' || ''I''4<sub>1</sub>/''amd'' || ''I''4<sub>1</sub>/''acd'' || colspan=4 | &nbsp;
 
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8 | [[Trigonaal kristalstelsel|Trigonaaltrigonaal]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 3
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>143-146</small>
| ''P''3 || ''P''3<sub>1</sub> || ''P''3<sub>2</sub> || ''R''3 || colspan=4 | &nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | {{overline|3}}
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>147-148</small>
| ''P''{{overline|3}} || ''R''{{overline|3}} || colspan=6 | &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 32
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>149-155</small>
| ''P''312 || ''P''321 || ''P''3<sub>1</sub>12 || ''P''3<sub>1</sub>21 || ''P''3<sub>2</sub>12 || ''P''3<sub>2</sub>21 || ''R''32 || &nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 3''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>156-161</small>
| ''P''3''m''1 || ''P''31''m'' || ''P''3''c''1 || ''P''31''c'' || ''R''3''m'' || ''R''3''c'' || colspan=2 | &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | {{overline|3}}''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>162-167</small>
| ''P''{{overline|3}}1''m'' || ''P''{{overline|3}}1''c'' || ''P''{{overline|3}}''m''1 || ''P''{{overline|3}}''c''1 || ''R''{{overline|3}}''m'' || ''R''{{overline|3}}''c'' || colspan=2 | &nbsp;
 
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Hexagonaal kristalstelsel|Hexagonaalhexagonaal]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 6
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>168-173</small>
| ''P''6 || ''P''6<sub>1</sub> || ''P''6<sub>5</sub> || ''P''6<sub>2</sub> || ''P''6<sub>4</sub> || ''P''6<sub>3</sub> || colspan=2|&nbsp;
Regel 188 ⟶ 183:
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>191-194</small>
| ''P''6/''mmm'' || ''P''6/''mcc'' || ''P''6<sub>3</sub>/''mcm'' || ''P''6<sub>3</sub>/''mmc'' || colspan=4|&nbsp;
 
|- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Kubisch kristalstelsel|Kubischkubisch]]
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 23
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>195-199</small>
| ''P''23 || ''F''23 || ''I''23 || ''P''2<sub>1</sub>3 || ''I''2<sub>1</sub>3 || colspan=3|&nbsp;
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | ''m''{{overline|3}}
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>200-206</small>
| ''Pm''{{overline|3}} || ''Pn''{{overline|3}} || ''Fm''{{overline|3}} || ''Fd''{{overline|3}} || ''I''{{overline|3}} || ''Pa''{{overline|3}} || ''Ia''{{overline|3}} || &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | 432
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>207-214</small>
| ''P''432 || ''P''4<sub>2</sub>32 || ''F''432 || ''F''4<sub>1</sub>32 || ''I''432 || ''P''4<sub>3</sub>32 || ''P''4<sub>1</sub>32 || ''I''4<sub>1</sub>32
|- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" | {{overline|4}}3''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" | <small>215-220</small>
| ''P''{{overline|4}}3''m'' || ''F''{{overline|4}}3''m'' || ''I''{{overline|4}}3''m'' || ''P''{{overline|4}}3''n'' || ''F''{{overline|4}}3''c'' || ''I''{{overline|4}}3''d'' || colspan=2 | &nbsp;
|- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2 | ''m''{{overline|3}}''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>221-230</small>
| ''Pm''{{overline|3}}''m'' || ''Pn''{{overline|3}}''n'' || ''Pm''{{overline|3}}''n'' || ''Pn''{{overline|3}}''m'' || ''Fm''{{overline|3}}''m'' || ''Fm''{{overline|3}}''c'' || ''Fd''{{overline|3}}''m'' || ''Fd''{{overline|3}}''c''
|- valign=top
| ''Im''{{overline|3}}''m'' || ''Ia''{{overline|3}}''d'' || colspan=6 | &nbsp;
|}
 
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruimtegroep"