Wikipedia

Wortel 2: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
KafiRobot (overleg | bijdragen)
bots
42.886 bewerkingen
k →‎Benaderingen: Artikel niet naar zichzelf linken via Wikipedia:Wikiproject/Check Wikipedia met AWB
→‎Irrationaal getal: Het bewijs in de Elementen wordt gegeven met oneindige afdaling.
Regel 77:
De [[Stelling (wiskunde)|stelling]] dat √2 een [[irrationaal getal]] is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet als de [[Breuk (wiskunde)|breuk]] van twee [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] zijn te schrijven. Daarmee werd het wereldbeeld van de [[Pythagorisme (Pythagoras)|Pythagoreërs]], die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, omver geworpen.
 
De stelling kan op diverse manieren bewezen worden bewezen, bijvoorbeeld uitmet behulp van de [[hoofdstelling van de rekenkunde]].<ref>K De Naeghel. [https://www.freewebs.com/koendenaeghel/irrational.pdf Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van √2], 27 februari 2011. {{pdf}}</ref> HieronderEr volgtstaat in boek 10 van de [[Elementen van Euclides]] een [[bewijs door oneindige afdaling]] dat √2 geen rationaal getal kan zijn, maar er wordt sinds het klassiekebegin van de 19e eeuw aangenomen dat het bewijs in de Elementen een [[Interpolatie (literatuur)|interpolatie]] is.<ref>Het bewijs is in twee vertalingen uit de 19e eeuw, een uit Berlijn van EF August uit 1826-1829 en een van [[Johan Ludvig Heiberg|JL Heiberg]] uit 1883-1888, slechts in een appendix opgenomen.</ref> Hieronder volgt een [[bewijs uit het ongerijmde]]:
 
=== Bewijs uit het ongerijmde ===
Stel dat √2 een [[rationaal getal]] is en wel <math>\sqrt{2} = \frac{a}{b}</math>, waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn, (geen factoren gemeenschappelijk hebben).▼
Het bewijs is een voorbeeld van een [[bewijs uit het ongerijmde]]:
 
Dan volgt dat <math>b\,\sqrt{2} = a</math> en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]] dat <math>2b^2 = a^2</math>.
Stel dat √2 een [[rationaal getal]] is en wel:
: <math>\sqrt{2} = \frac{a}{b}</math>,
 
▲waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).
 
Dan volgt dat
: <math>b\,\sqrt{2} = a</math>
en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]]
 
: <math>2b^2 = a^2</math>
 
Daaruit volgt dat <math>a^2</math> een [[even getal]] is, dus ook dat <math>a</math> zelf even is, zeg <math>a=2k</math>.
 
Daaruit volgt weer: dat <math>2b^2 = (2k)^2=4k^2</math>, dus is <math>b^2 = 2k^2</math>.
: <math>2b^2 = (2k)^2=4k^2</math>,
 
dus
: <math>b^2 = 2k^2</math>
 
Kennelijk is <math>b^2</math> even, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, heeft geleid tot een tegenspraak. Deze veronderstelling is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.▼
 
▲Kennelijk is <math>b^2</math> is kennelijk even, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, heeft geleid tot een tegenspraak. Deze veronderstelling iswas dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.
Dit [[Getaltheorie|getaltheoretische]] bewijs is door [[Euclides van Alexandrië|Euclides]] in Boek 10 van [[Elementen van Euclides|De Elementen]] gegeven.
 
== De A-standaard voor papierformaat ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortel_2"