Vensterfunctie: verschil tussen versies

77 bytes verwijderd ,  2 jaar geleden
k
geen bewerkingssamenvatting
(Versie 53860441 van 80.113.1.11 (overleg) ongedaan gemaakt. Window has its top at n=(N-1)/2 where cos()=-1)
Label: Ongedaan maken
kGeen bewerkingssamenvatting
Een '''vensterfunctie''', in het Engels ''window function'', ''apodization function'' of ''tapering function''<ref>{{cite book | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | author = Eric W. Weisstein | publisher = CRC Press | year = 2003 | isbn = 1-58488-347-2 | url = http://books.google.com/?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA97&dq=apodization+function }}</ref>, is een wiskundige [[functie (wiskunde)|functie]] die nul is buiten een bepaald interval. Zo wordt een functie die nul is buiten een interval, en die een constante waarde heeft binnen het interval een ''rechthoekige vensterfunctie'' of ''rechthoekig venster'' genoemd, gezienvanwege de vorm die dit venster heeft. Wanneer een ander signaal met de vensterfunctie puntsgewijs wordt vermenigvuldigd is het product nul buiten het interval van de vensterfunctie. Vandaar de benaming ''venster'': men kijkt naar een ander signaal door een ''venster'', waardoor men als het ware een stuk uit het volledige signaal knipt. Indien de vorm binnen het bereik van de vensterfunctie niet constant is, wordt het uitgeknipte stuk van het oorspronkelijk signaal ook nog eens gewijzigd.
 
Vensterfuncties worden onder meer gebruikt in alle analoge en digitale toepassingsgebieden van [[signaalverwerking]], gevorderde varianten van de [[fouriertransformatie]], [[beeldverwerking]] en [[digitale spraakverwerking]]. Ook analoge en digitale filters kunnen op basis van vensterfuncties worden ontworpen.
 
De nevenstaande figuur illustreert de onderstaande uitleg concreet voor een sinus van 5,26&nbsp;Hz die wordt waargenomen met een rechthoekig venster van 5 seconden.
De [[fouriertransformatie]] van een oneindig lange [[Sinusoïde|sinus]] bestaat uit één enkele piek op de eigen [[frequentie]]. Een wiskundig perfecte sinus bevat immers enkel zijn eigen frequentie. Deze piek, groen op bijgaande figuur, is wiskundig voor te stellen als een [[Diracfunctie]] op die precieze frequentie. Wanneer echter (bijvoorbeeld) een rechthoekig venster op de sinus wordt toegepast is de fouriertransformatie, wegens de [[convolutiestelling]] de [[convolutie]] van de [[fouriertransformatie]] van de sinus en de [[fouriertransformatie]] van het venster. De convolutie van een [[Diracfunctie]] en een andere functie is op zijn beurt een verschuiving van de andere functie tot op de plaats van de [[Diracfunctie]]. Dit is een eigenschap van de [[Diracfunctie]]. Deze convolutie is de golvende functie in het rood op de figuur.
De [[fouriertransformatie]] van een sinus, genomen door een rechthoekig venster, is dus een [[sinc-functie]] met haar maximum op de frequentie van de sinus (en een tweede sinc-functie op de negatieve frequentie). De [[fouriertransformatie]] van een rechthoekig tijdsignaal is immers een [[sinc-functie]] in frequentie.
 
Indien:
 
op het interval <math>[-T/2 ... T/2]</math> en nul daarbuiten,
dan is de [[fouriertransformatie]]
 
:<math>F(\omega) \, = \, AT \ \operatorname{sinc}(\omega T/2) </math>
 
op het interval <math>[-T/2 ... T/2]</math> en nul daarbuiten,
dan is de [[fouriertransformatie]]
 
:<math>F(\omega) \, = \, AT \ \operatorname{sinc}[(\omega + \omega_o) T/2] + AT \ \operatorname{sinc}[(\omega - \omega_o) T/2]</math>
 
Daarboven komt nog het feit dat de [[fouriertransformatie]] in de praktijk wordt berekend door middel van een [[Fast Fourier transform|FFT]], en deze berekent de [[fouriertransformatie]] in een discrete vorm: het resultaat van de FFT bevat enkel informatie op de veelvouden van de grondfrequentie van de meting, en deze is één gedeeld door de duur van de meting. Een meting van 5 seconden levert dus enkel fouriercoëfficiënten op 0,2&nbsp;Hz, 0,4&nbsp;Hz, 0,6&nbsp;Hz... In het algemeen zullen deze ''zichtbare'' frequenties, de blauwe pieken op de figuur, niet samenvallen met de piek van de getransformeerde van het venster, en wordt er dus geen unieke piek gemeten, maar een gans bos van pieken die hun maximum bereiken in de buurt van de werkelijke frequentie van de te meten sinus. De maximale piek zal echter lager zijn dan de werkelijke sterkte van de sinus.
 
Alles bij elkaar wordt in het Fourierspectrum een sinus dus vervangen door de [[Fouriertransformatie]] van het gebruikte venster, en wordt dit dan nog eens bemonsterd op de zichtbare frequenties van de Fouriertransformatie. Als de werkelijke frequentie van de sinus niet met een die zichtbare frequenties samenvalt zal de [[fouriertransformatie]] van het gebruikte venster dus niet in zijn maximum worden bemonsterd.
 
Een rechthoekig venster gebruiken zal dus aanleiding geven tot de volgende fouten:
[[Bestand:Window Criteria.jpg|thumb|right|Kwaliteitscriteria van een venster: side lobe roll off (deze helling is constant indien de frequentieas logaritmisch is), scalloping loss, breedte van de hoofdlobe op −3 dB en hoogte van de hoogste zijlobe]]
 
De [[fouriertransformatie|fouriergetransformeerde]] van een venster bestaat steeds uit een centrale hoofdlobe (''main lobe'') en afnemende zijlobes (side lobes'').
De vensters kunnen worden beoordeeld volgens volgende criteria:
 
* ''Scallop loss'': de maximale fout in dB die kan voorkomen bij een amplitudemeting. Deze fout treedt op indien de top van de hoofdlobe niet samenvalt met een zichtbare frequentie van de [[Fouriertransformatie]]. In het slechtste geval ligt de frequentie van een te meten sinus toevallig net tussen de frequenties van twee opeenvolgende fouriercoëfficiënten. In deze situatie wordt de scallop loss bepaald.
 
* ''Main lobe width'': de breedte van de hoofdlobe. Hoe breder de hoofdlobe, hoe moeilijker sinussen met bijna gelijke frequentie zullen kunnen onderscheiden worden. Bij vensters met een zeer brede hoofdlobe zullen de twee sinussen als één gezamenlijke piek zichtbaar zijn. Deze breedte kan op verschillende wijze worden gegeven, bijvoorbeeld de breedte op −3dB uitgedrukt in bins. Een bin is het verschil in frequentie tussen twee opeenvolgende fouriercoëfficiënten.
 
Terminologie''':'''
*<math>N\,</math> is de breedte in netpunten van de discrete vorm van het venster. Meestal is dat in de praktijk een macht van 2 zodat het [[Fast Fourier Transform]]-algoritme in optimale omstandigheden kan worden toegepast.
*<math>n\,</math> is een gehele parameter die loopt van 0 tot N-1. De vensters worden dus beschreven op een internal [0..N-1] zodat het maximum van de vensters ruwweg ligt op n = N/2.
 
Indien een signaal te lang is om in één keer te worden behandeld kan men het opdelen en de stukken afzonderlijk bestuderen. Echter, de meeste vensters gaan aan de uiteinden naar nul. Om toch met alle informatie rekening te houden moeten de vensters daarom elkaar gedeeltelijk overlappen. Indien men bijvoorbeeld Hanning-vensters 50% laat overlappen wordt met elk detail in het signaal voor precies 100% rekening gehouden, verdeeld over twee aansluitende vensters.
 
Dit principe wordt toegepast in de zogenaamde ''Short-time Fourier Transformatie'', kortweg [[Short-time Fourier transform|STFT]]. Door een venster in overlappende stapjes over een lang signaal te laten schuiven, en steeds een [[Fouriertransformatie]] te berekenen krijg men niet alleen informatie over de frequenties die in het signaal aanwezig zijn, maar ook hoe deze in de tijd doorheen het signaal evolueren. De nauwkeurigheden waarmee die gebeurt in tijd en frequentie zijn echter omgekeerd evenredig met elkaar. Een verbeterde nauwkeurigheid (''resolutie'') in de tijd betekent een verzwakte nauwkeurigheid in frequentie en omgekeerd.
 
==Externe link==
7.072

bewerkingen