Geheel getal: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 8:
Een geheel getal heet 'geheel' omdat het zonder [[Breuk (wiskunde)|fractionele]] of zonder cijfers achter de komma kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en <math>\sqrt{12}</math> geen gehele getallen zijn. De [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] gehele getallen is een [[deelverzameling]] van de [[Reëel getal|reële getallen]], en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte '''Z''' of het [[symbool]] <math>\Z</math> ([[Unicode]] U+2124 {{Unicode|ℤ}}), wat voor ''[[wiktionary: Zahlen|Zahlen]]'', het [[Duits]] voor getallen, staat.<ref>{{en}} {{aut|Jeff Miller}}, [https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html ''Earliest Uses of Symbols of Number Theory].</ref>
==
De gehele getallen kunnen formeel worden gedefinieerd als [[Equivalentierelatie#Equivalentieklasse|equivalentieklassen]] van paren [[natuurlijke getallen]].▼
Voor de representatie van gehele getallen in de [[computer]] maakt men gebruik van het datatype [[Integer (informatica)|integer]]. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is een [[eindige verzameling]], beperkt door het geheugen, terwijl de gehele getallen een [[oneindige verzameling]] vormen.▼
{{Zijbalk getalverzamelingen}}
De verzameling gehele getallen is [[Gesloten verzameling|gesloten]] onder [[optellen]], [[aftrekken (wiskunde)|aftrekken]] en [[vermenigvuldigen]]: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking [[delen]]: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is een [[rationaal getal]]. De gehele getallen vormen een [[Ring (wiskunde)|ring]].▼
De gehele getallen kunnen worden gedefinieerd als de elementen van de kleinste verzameling <math>\mathbb{Z}</math> met de eigenschappen:
Regel 26 ⟶ 18:
: <math>z \in \mathbb{Z} \implies z - 1 \in \mathbb{Z}</math>
▲De gehele getallen kunnen formeel worden gedefinieerd als [[Equivalentierelatie#Equivalentieklasse|equivalentieklassen]] van paren [[natuurlijke getallen]].
De elementen van <math>\mathbb{Z}</math> hebben een bepaalde volgorde. Strikter geformuleerd: de verzameling <math>\mathbb{Z}</math> wordt [[Totale orde|totaal geordend]] door de [[Relatie (wiskunde)|relatie]] <math><</math> (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.▼
▲Voor de representatie van gehele getallen in de [[computer]] maakt men gebruik van het datatype [[Integer (informatica)|integer]]. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is een [[eindige verzameling]], beperkt door het geheugen, terwijl de gehele getallen een [[oneindige verzameling]] vormen.
Deze orde heeft de eigenschappen:▼
# als <math>a<b</math> en <math>c<d</math>, dan is <math>a+c<b+d</math>▼
# als <math>a<b</math> en <math>0<c</math>, dan is <math>ac<bc</math>▼
==
▲* De verzameling gehele getallen is [[Gesloten verzameling|gesloten]] onder [[optellen]], [[aftrekken (wiskunde)|aftrekken]] en [[vermenigvuldigen]]: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking [[delen]]: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is een [[rationaal getal]]. De gehele getallen vormen een [[Ring (wiskunde)|ring]].
▲* De elementen van <math>\mathbb{Z}</math> hebben een bepaalde volgorde. Strikter geformuleerd: de verzameling <math>\mathbb{Z}</math> wordt [[Totale orde|totaal geordend]] door de [[Relatie (wiskunde)|relatie]] <math><</math> (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.
:: <math>
▲: Deze orde heeft de eigenschappen:
In bovenstaande stelling heet het getal <math>q</math> het [[quotiënt]] en <math>r</math> de [[rest]] van de deling van <math>a</math> door <math>b</math>.▼
:: <math>a=bq+r</math>.
▲: In bovenstaande stelling heet het getal <math>q</math> het [[quotiënt]] en <math>r</math> de [[rest]] van de deling van <math>a</math> door <math>b</math>. Deze vorm van delen heet [[geheeltallige deling]].
: Als in bovenstaande stelling <math>r=0</math>, is de [[Breuk (wiskunde)|breuk]] <math>a/b=q</math>, dus geheel. Als <math>r\ne 0</math>, is de breuk <math>a/b=q</math> geen geheel, maar een [[rationaal getal]], met een geheel deel <math>q</math> en een gebroken of fractioneel deel <math>r/b</math>.
== Kardinaliteit ==
Regel 73 ⟶ 67:
Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit.
==
De [[Geheel getal van Gauss|Gauss-gehele getallen]] en de [[Geheel getal van Eisenstein|Eisenstein-gehele getallen]] zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de [[Complex getal|complexe getallen]].
| |||