Waterstofatoom: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Labels: Vervangen Misbruikfilter: Leeghalen Visuele tekstverwerker |
k Wijzigingen door Pieter de winter 33 (Overleg) hersteld tot de laatste versie door Wimpus |
||
Regel 1:
[[Bestand:Hydrogen-1.png|thumb|Het <sup>1</sup>H-atoom in de [[Isotopentabel (compleet)|isotopentabel]]]]
Een '''waterstofatoom''' is een [[atoom]] van het chemische element [[Waterstof (element)|waterstof]]. Het [[Elektrische lading|elektrisch]] neutrale atoom bevat een positief geladen [[Proton (deeltje)|proton]] en een negatief geladen [[elektron]], dat aan de kern wordt gebonden door de [[Wet van Coulomb|coulombkracht]]. De meest voorkomende [[isotoop]], [[protium (isotoop)|protium]] (ook waterstof-1 of lichte waterstof genoemd), bevat geen [[neutron]]en; andere isotopen van waterstof, zoals [[deuterium]] en [[tritium]], bevatten respectievelijk één en twee neutronen.
== Waterstofatoom als modelsysteem in de kwantummechanica ==
Het waterstofatoom is het eenvoudigste realistische systeem dat zich laat behandelen met de [[kwantummechanica]]. Omdat het een [[Tweelichamenprobleem|tweedeeltjesprobleem]] is, en de twee deeltjes (het elektron en het proton waar het omheen "cirkelt") op de schaal van het atoom als [[puntmassa]]'s kunnen worden beschouwd, kan onder die (in de praktijk alleszins redelijke) aanname een exacte oplossing gegeven worden voor de [[schrödingervergelijking]] (het waterstofatoom is daarmee ook het enige atoom waarvoor men de schrödingervergelijking exact kan oplossen). Op die manier heeft men nauwkeurige kwantitatieve voorspellingen kunnen doen die een van de redenen vormen dat de kwantummechanica als succesvolle natuurkundige theorie ingang heeft gevonden.
[[Bestand:Visible spectrum of hydrogen.jpg|thumb|right|Het zichtbare deel van de Balmerreeks]]
Onder meer de [[frequentie]]s van verschillende series [[spectraallijn]]en (met name de [[Waterstofspectrum|Balmerreeks]] en de [[Waterstofspectrum|Lymanreeks]]) kunnen op deze manier worden berekend uit "eerste beginselen", waar voorheen alleen [[Empirisch resultaat|empirisch]]e formules voorhanden waren.
De [[orbitaal]]structuur van waterstof is in de [[theoretische chemie]] en [[computationele chemie]] nog steeds een belangrijk theoretisch en praktisch hulpmiddel bij het beschrijven van de [[Elektronenconfiguratie|elektronenstructuur]] van andere atomen en van moleculen (al kan men de vergelijkingen voor dergelijke systemen niet meer exact oplossen, zelfs niet in de [[Born-Oppenheimerbenadering]]).
== Oplossing van de schrödingervergelijking ==
De schrödingervergelijking voor de golffunctie <math>\Psi</math> van het elektron dat met constante energie <math>\mathrm E</math> in het Coulombveld van de atoomkern golft, is
:<math>
\mathrm E \Psi(\vec r) = - \frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta \Psi(\vec r) - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}\Psi(\vec r)
</math>.
De [[Laplaciaan]] <math>\Delta</math> wordt uitgeschreven in bolcoördinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden:
<math> \Psi(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta, \varphi ) </math>.
De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kant alleen van <math>r</math> afhangt en de rechterkant alleen van de hoekcoördinaten <math>\vartheta, \varphi</math>. Linker en rechterkant zijn dus constant.
De schrödingervergelijking splitst in twee, voor <math>R</math> en voor <math>Y</math>:
:<math> \frac{\hbar^2}{2m_e} \left[{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right] + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}R(r) + E R(r) = 0 </math>
en
:<math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) + l(l+1)Y(\theta,\varphi) = 0</math>.
Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als <math>l(l+1)</math>. De tweede vergelijking heeft dan voor <math>l=0,1,2,\dots</math> [[sferische harmoniek|bolfuncties]] <math>Y_{lm}</math> als oplossing. Voor elke <math>l</math> zijn er <math>2l+1</math> oplossingen aangeduid met index <math>m</math>.
De eerste vergelijking wordt omgevormd door een reeks substituties. Dat gaat het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in [[atomaire eenheden]]<ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, par.36</ref>. Substitutie van <math>E=-1/2n^2</math>, <math>r=\rho n/2</math> en vervolgens <math>R=\rho^l e^{-\rho/2}w(\rho)</math> levert ten slotte
:<math>\rho w''+(2l+2-\rho)w'+(n-l-1)w=0</math>
waarvan de oplossing <math>w</math> bekend is uit de theorie van Laguerre polynomen. Voor elke <math>l</math> zijn er oneindig veel oplossingen <math>R_{nl}</math>, namelijk voor elke gehele <math>n>l</math>.
Het resultaat in gewone eenheden is:
:<math> \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r)\; Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math>.
:<math> R_{nl}(r) = \sqrt {{\left(\frac{2}{n a_0}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\; e^{- \rho / 2}\; \rho^{l}\; L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)</math>
:<math> Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math> zijn [[sferische harmoniek|sferisch harmonischen]]
:<math>a_0 = \hbar / m_e c\alpha </math> de [[Bohrstraal]] van het H-atoom, <math>\alpha</math> de [[fijnstructuurconstante]], <math>\rho = 2r / n a_0 </math> en
:<math> L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) </math> [[Laguerre-polynomen|gegeneraliseerde Laguerre-polynomen]].
De [[Elektronenschil|kwantumgetallen]] kunnen de volgende waarden hebben:
:<math> n=1,2,3,\ldots </math>
:<math>l=0,1,2,\ldots,n-1</math>
:<math>m=-l,\ldots,l.</math>
Alleen deze oplossingen van de schrödingervergelijking zijn acceptabele golffuncties: genormeerd, éénwaardig en eindig.
=== Energieniveaus ===
De energieniveaus van het elektron hangen alleen van <math>n</math> af
:<math>E_n = - { {m_e c^2\alpha^2}\over {2n^2} } = {E_1 \over n^2} , \; \; E_1</math> = - 13,6 [[elektronvolt|eV]],
negatief omdat het energie kost om het elektron uit het atoom te verwijderen.
Ze bepalen het [[waterstofspectrum]]. De frequenties van de Lymanreeks zijn
:<math>(E_n-E_1)/h = \nu_H (1-1/n^2) , \; \;</math> voor <math>n>1</math>,
voor de Balmerreeks
:<math>(E_n-E_2)/h = \nu_H (1/4-1/n^2), \; \;</math> voor <math>n>2</math>,
enz. <math>\nu_H = cR_H \approx</math> 3,3 [[Elektromagnetisch spectrum|PHz]]; <math>R_H</math> is de Rydbergconstante.
=== Golffuncties voor n=1 en n=2 ===
Grondtoestand
:<math>\Psi_{100} = \sqrt{1 \over \pi a_0^3} e^{-r/a_0}</math>
Eerste aangeslagen toestand
:<math>\Psi_{200} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left(2-{r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}</math>
:<math>\Psi_{210} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0} \cos \vartheta </math>
:<math>\Psi_{2,1,\pm 1} = \sqrt{1 \over 64\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}\sin \vartheta \; e^{\pm i \varphi} </math>
=== Correcties ===
Bovenstaand model is een zeer goede benadering hoewel de massa van de atoomkern <math>M</math> oneindig groot verondersteld is vergeleken met <math>m_e</math> en relativistische correcties niet verrekend zijn.
De eindige atoomkernmassa kan eenvoudig in de formules gecorrigeerd worden door <math>m_e</math> te vervangen door de ''gereduceerde massa'' <math>m_r = m_e M / (M+m_e)</math>.
Door relativistische correcties zijn de energieniveaus niet meer alleen van <math>n</math> afhankelijk. De spectraallijnen hebben een [[fijnstructuur]].
== Waterstofachtige ionen ==
Het model geldt ook voor 1-elektron ionen He⁺, Li²⁺ enz. met kernlading Ze als in de schrödingervergelijking e² vervangen wordt door Ze². In de oplossing verandert a<sub>0</sub> in a<sub>0</sub>/Z en E<sub>n</sub> krijgt er een factor Z² bij. De energieniveaus zijn dan een factor Z² dieper.
{{Appendix}}
{{DEFAULTSORT:Waterstofatoom}}
| |||