Gelukkig getal: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k : een opsomming is geen eigenschap (een enkele eigenschap toch wel vermelden; komt later) en andere opmaak |
: uitbreiding met eigenschappen en met een bewijs voor de 4-cyclus, lay-out aangepast, bronnen en externe links erbij. |
||
Regel 5:
* wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal.
De eerste twintig gelukkige getallen zijn
<math>1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100</math>.<ref>Zie de rij [http://oeis.org/A007770 A007770, ''Happy numbers''] op [http://oeis.org/ OEIS]</ref>
== Een meer formele definitie ==
Wordt (in een zeker talstelsel) bij een geheel positief getal <math>n</math> de rij getallen <math>n_0 = n, n_1, n_2, n_3, \ldots</math> zó gevormd dat <math>n_{i+1}</math> gelijk is aan de som van de kwadraten van de cijfers van <math>n_i</math>, dan is <math>n</math> een '''gelukkig''' getal als er een <math>k</math> bestaat waarvoor <math>n_k = 1</math>.
Met <math>s</math> (of <math>s_1</math>)<math>, s_2, \dots</math> wordt de eerste, tweede, ... iteratiestap beschreven van bovenbedoeld procedé. Zo is (in het [[decimale stelsel|tientallige stelsel]]):
:<math>s(7) = s_1(7) = 49,\, s_2(7) = s(49) = 97,\, s_3(7) = s(97) = 130,\, s_4(7) = s(130) = 10,\, s_5(7) = s(10) = 1</math>
De rij <math>n_k</math> (voor <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>) met <math>n_0 = 7</math> is in dit geval: <math>7,\, 49,\, 97,\, 130,\, 10,\, 1</math>.
Een rij als deze wordt ook wel genoteerd als: <math>7\to49\to97\to130\to10\to1</math>.
== Voorbeelden ==
1. Het getal <math>23</math> geeft:
:
2. Het getal <math>78</math> geeft:
▲Dus 23 is een gelukkig getal.
:<math>113 \to 11 \to 2 \to \mathbf{4} \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to \mathbf{4}</math>
En nu zal de cyclus <math>16,\, 37,\, 58,\, 89,\, 145,\, 42,\, 20,\, 4</math> zich steeds herhalen.▼
Daarom is <math>78</math> een niet-gelukkig (ongelukkig) getal.<ref>Zie de rij [http://oeis.org/A031177 A031177, ''Unhappy numbers''] op [http://oeis.org/ OEIS].</ref>
* Staat er in de rij <math>n_0=n, n_1, n_2, \dots</math> (conform bovenstaande formele definitie) een getal <math>n_k</math> (met <math>k \ge 1</math>) dat een gelukkig getal is, dan is <math>n</math> een gelukkig getal.
:''Bewijs''. Is <math>n_k</math> een gelukkig getal, dan is er in de rij die <math>n_k</math> als eerste term heeft, een term <math>n_{k+m}</math> (voor zekere <math>m \ge 1</math>) met een waarde gelijk aan <math>1</math>. De term <math>n_{k+m}</math> staat dan ook in de rij die begint met <math>n_0</math>. Dus is <math>n</math> een gelukkig getal.
▲En nu zal de cyclus 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4 zich steeds herhalen.
* De eigenschap ‘wel of niet gelukkig’ verandert niet indien er in de schrijfwijze in cijfers nullen worden toegevoegd of weggelaten.
:''Bewijs''. Dit is triviaal: <math>0^2</math> erbij of eraf verandert de waarde van <math>s(n)</math> niet.
* Er zijn oneindig veel gelukkige getallen.
:''Bewijs''. Dit volgt uit de vorige eigenschap. Maar een iets ander bewijs is het volgende.
:Voor <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math> zij <math>n = 10^k</math>, zodat het getal <math>n</math> geschreven is met een <math>1</math> gevolgd door <math>k</math> nullen. Dan is voor elke <math>k</math>, dus voor elk van die getallen, <math>s(n) = 1</math>. En van die getallen <math>n</math> zijn er oneindig veel.
* Een getal dat wordt gevormd door een [[permutatie]] van de cijfers van een gelukkig getal, is een gelukkig getal.
:''Bewijs''. Dit berust op de [[commutativiteit]] van de optelling (van de kwadraten) van getallen.
* Een getal <math>n</math> van de vorm <math>10^k + 3</math> (met <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>) is een gelukkig getal.
:''Bewijs''. Het getal <math>n</math> is in dit geval een getal dat geschreven is met een <math>1</math> gevolgd door <math>k-1</math> nullen en dan een <math>3</math>; dus: <math>n = 1000\ldots003</math>.
:Dan is <math>s(n) = 1 + 9 = 10 \to 1</math>.
:N.B. Dit geldt ook voor getallen <math>n</math> van de vorm <math>10^k + 9</math> (met <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>). Immers,
:• voor <math>k = 0</math> is <math>n = 10</math> en <math>s(10) = 1</math>;
:• voor <math>k \ge 1</math> is <math>s(n) = 1 + 81 = 82 \to 68 \to 100 \to 1</math>.
* Er zijn oneindig veel ''niet-gelukkige'' getallen.
:''Bewijs''. Stel <math>n = 2 \cdot 10^k</math> voor <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>; dit zijn oneindig veel getallen. Dan is:
::<math>s(n) = 2^2 + 0^2 + \ldots + 0^2 = 4</math>
:En <math>4</math> is een niet-gelukkig getal. Dus is elk getal <math>n</math> van de vorm <math>2 \cdot 10^k</math> een niet-gelukkig getal.
== Cyclus ==
''Stelling''. Is <math>n</math> een getal geschreven met <math>k</math> cijfers (in het decimale stelsel), dan is er precies een cyclus (in de rij gevormd volgens de formele definitie) die begint met <math>4</math>.
''Bewijs''. Voor iedere <math>k \ge 1</math> is <math>10^{k-1} \le n \le 10k</math>. Met <math>k \ge 4</math> is dan:
:<math>s(n) \le 81k \le 10^{k-1} \le n</math>
Immers, de maximale waarde van <math>s(n)</math> voor een getal <math>n</math> van <math>k</math> cijfers is <math>k\cdot9^2 = 81k</math> en voor <math>k \ge 4</math> is inderdaad voldaan aan <math>81k \le 10^{k-1}</math>.
Voor <math>n \ge 1000</math> geeft de eerste iteratiestap dus een waarde <math>s(n) < 1000</math>. Is vervolgens <math>n < 1000</math>, dan is <math>s(n)</math> maximaal als <math>n = 999</math>, zodat <math>s_\text{max} = 3\cdot81 = 243</math>. Daarmee leidt de eerste iteratiestap voor getallen <math>n</math> met <math>243 \le n < 1000</math> tot <math>s(n) \le 243</math>.
Is <math>100 \le n \le 243</math>, dan is <math>s_\text{max} = s(199) = 1 + 2\cdot81 = 163</math>. En voor <math>100 \le n \le 163</math> is <math>s_\text{max} = s(159) = 1 + 25 + 81 = 107</math>.
Als <math>100 \le n \le 107</math> is, dan is <math>s_\text{max} = s(107) = 50</math>, zodat voor die waarden van <math>n</math> de eerste iteratiestap leidt tot een waarde van <math>s(n) \le 50</math>.
Conclusie - Elke <math>n \ge 100</math> geeft na een eindig aantal iteratiestappen <math>j</math> een <math>s_j</math>-waarde (een term <math>n_j</math>) die kleiner is dan <math>100</math>.
Onderzoek van de rij getallen <math>n = n_0,\, n_1,\, n_2,\, \ldots</math> geeft voor de getallen <math>n = 1, 2, 3, \cdots, 99</math> telkens een van de twee volgende mogelijkheden:<br />
• er is een <math>k</math> met <math>n_k = 1</math>;<br />
• er is een <math>k</math> met <math>n_k = 4</math> en <math>n_k \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4</math>.
== Opmerking ==
De definitie van een gelukkig getal is afhankelijk van het [[talstelsel]] waarin de getallen zijn geschreven.
== Binaire schrijfwijze ==
Wordt het getal <math>n</math> (geheel, <math>\ge 1</math>) binair geschreven (te herkennen aan index <math>_2</math>), dan kan bewezen worden dat <math>n</math> een gelukkig getal. Hieronder staat een schets van een bewijs.
;Voorbeelden
:<math>n = 1_2</math> ; <math>s(n) = 1^2 = 1</math>
:<math>n = 10_2</math> ; <math>s(n) = 1^2 + 0^2 = 1</math>
:<math>n = 11_2</math> ; <math>s_1(n) = 1^2 + 1^2 = 2 = 10_2</math> ; <math>s_2(n) = s(10_2) = 1</math>
:<math>n = 100_2</math> ; <math>s(n) = 1</math>
:<math>n = 101_2</math> ; <math>s_1(n) = 2 = 10_2</math> ; <math>s_2(n) = s(10_2) = 1</math>
:<math>n = 110_2</math> ; <math>s_1(n) = 2 = 10_2</math> ; <math>s_2(n) = s(10_2) = 1</math>
:<math>n = 111_2</math> ; <math>s_1(n) = 3 = 11_2</math> ; <math>s_2(n) = s(11_2) = 10_2</math> ; <math>s_3(n) = s(10_2) = 1</math>
Merk op dat voor een willekeurig positief geheel (ook binair geschreven) getal <math>n</math> geldt dat <math>s(n) = s(n')</math>, waarbij <math>n'</math> het getal is dat ontstaat door uit de (binaire) schrijfwijze van <math>n</math> alle nullen weg te laten.
En voorts is, voor een binair geschreven natuurlijk getal <math>n</math> met lauter <math>k</math> enen (met <math>k \ge 1</math>):
:<math>n = 111 \ldots 11_2 = 2^k - 1</math> en <math>s(n) = k</math>
Voor iedere <math>k</math> (<math>= 2, 3, \ldots</math>) geldt <math>k < 2^k - 1</math>. Dus de eerste iteratiestap bij zo’n <math>n</math> leidt altijd tot <math>s(n) < n</math>, dus tot een getal met ''minder'' enen in de binaire schrijfwijze, en daardoor uiteindelijk tot een zekere <math>s_k</math>-waarde die gelijk is aan 1. Met andere woorden:<br />
''Stelling''. Elk positief geheel getal dat binair gerepresenteerd is, is een gelukkig getal.
== Zie ook ==
* [[Geluksgetal]] en [[ongeluksgetal]]
* [[Harshadgetal]]; 'harshad' komt uit het [[Sanskrit]] en betekent 'grote vreugde'.
* [[Narcistisch getal]]
* [[Münchhausengetal]]
== Externe links ==
*{{en}}{{aut|Eric W. Weisstein}}: ''[http://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html Happy Number]''. Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.
*{{en}}{{aut|Eric W. Weisstein}}: ''[http://mathworld.wolfram.com/UnhappyNumber.html Unhappy Number]''. Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.
*{{en}}{{aut|OEIS}}: [http://oeis.org/A039943 Rij A0339943] - Cycles with sum of squares
*[[Wolfram Alpha|WolframAlpha]]: {{en}} ''[https://www.wolframalpha.com/input/?i=happy+number Happy Number]''.
{{Appendix
== Bronnen ==
*Bij de bewerking op 20 mrt 2019 11:50 (CET) is gedeeltelijk gebruik gemaakt van de inhoud van het artikel op de [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Happy_number&oldid=880625680 Engelstalige Wikipedia], die onder de licentie [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.nl Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen] valt.
----
*{{aut|M. Looijen (2015)}}: ''Over getallen gesproken''. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e herziene druk; pp. 210-214.
*{{aut|S. Shirali (2017)}}: {{pdf}} [https://azimpremjiuniversity.edu.in/SitePages/pdf/09_HOW_TO_PROVE_IT_CLASSROOM.pdf ''How to prove it – Happy numbers'']. In: ''At Right Angles'' (Azim Premji University, Bengaluru - India), vol. 6, nr. 3 (november 2017); pp. 40-42.
== Noten ==
{{References}}
}}
[[Categorie:Recreatieve wiskunde]]
| |||