Viervector: verschil tussen versies

5 bytes verwijderd ,  3 jaar geleden
k
ip
(Spelfout gecorrigeerd)
Labels: Bewerking via mobiel Bewerking via mobiele app Bewerking in een toepassing voor Android
k (ip)
 
Het begrip viervector generaliseert dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijds-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een plaats. In de klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten <math>x,y</math> en <math>z</math> op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een ''positie-viervector'' (ruimtetijdpositie) ziet er als volgt uit:
:<math>(ct, x, y, z)</math>,
en bepaalt dus een positie <math>(x,y,z)</math> op een welbepaald tijdstip <math>t</math>. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een [[gebeurtenis (relativiteit)|gebeurtenis]] in de ruimtetijd. In de uitdrukking hierboven is <math>c</math> de [[lichtsnelheid]], die als factor garandeert dat de verschillende componenten van de viervector alle dezelfde eenheid lengte hebben. Het is voor een bondige notatie gebruikelijk een vector <math>(x,y,z)</math> te schrijven als <math>x^i</math>, met <math>i=1,2,3</math>. Analoog noteert men een positie-viervector als
:<math>\vec{X}^\mu = (X^0, X^1, X^2, X^3)</math>
</math>
 
Soms wordt een andere [[tekenconventie]] gebruikt waarbij de matrix <math>\eta_{\mu \nu}</math> tegengestelde tekens op de diagonaal heeft: <math>(-1,1,1,1)</math>.
 
===Lorentztransformaties===
{{Zie hoofdartikel|Lorentztransformatie}}
In de speciale relativiteitstheorie worden de [[galileitransformatie]]s vervangen door [[lorentztransformatie]]s. Deze beschrijven hoe coördinaten veranderen als men van [[inertiaalstelsel]] verandert, dat wil zeggen overstapt naar een stelsel dat met een constante snelheid ten opzichte van het eerste beweegt. Als deze snelheid in de (positieve of negatieve) ''x''-richting is, dan geldt:
:<math>\begin{cases}
ct' &= \gamma \left( ct - \frac vc x\right) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases},</math>
 
met <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}</math> de [[lorentzfactor]].
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ .
</math>
met <math>\beta = \frac{v}{c}</math> en <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>.
 
Als de relatieve snelheid '''''v''''' van de stelsels in een willekeurige richting is dan krijgen we, in [[blokmatrix]]notatie:
c t \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\,,
</math>
 
De vierkracht is de viervector corresponderend met [[kracht]]. Het is de afgeleide naar de eigentijd van het viermomentum:
 
:<math>\vec{F} = {d\vec{P} \over d\tau}</math>.
 
We kunnen nu de veralgemening van de [[wetten van Newton|tweede wet van Newton]] opschrijven in de vorm van viervectoren:
:<math>\vec{F} = m\vec{A} = \left(\gamma {d\gamma \over dt} mc,\gamma\vec f\right)</math>
met
:<math>\vec f=m\left({d\gamma \over dt} \vec v+\gamma{d \vec{v} \over dt} \right)</math>.
 
==Zie ook==