Harmonische rij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
herstel; er is geen consensus over de Hesselp-complicatie m.b.t. harmonisch gemiddelde |
k syntax |
||
Regel 30:
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>c\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{c+v},\ \frac{1}{c+2v},\ \frac{1}{c+3v},\ \frac{1}{c+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{c+nv},\ \ldots
Voor <math>c=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen.
Want aangezien het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}</math>: :<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
:<math>t_{n
Tevens is te zien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren:
| |||