Wikipedia

Harmonische rij: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Trewal (overleg | bijdragen)
9.860 bewerkingen
Versie 52573222 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. Voor de zoveelste keer: géén . achter ... aan einde zin! En geen fouten toevoegen aub.
Label: Ongedaan maken
Twee fouten hersteld en een detail-verbetering. Regel 1 ingekort: op de overlegpagina zijn na verzoek geen tegenargumenten genoemd.
Regel 1:
In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)|rij]] aangeduid:
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ </math>,
 
dus de rij <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>a_n=1/n</math>.
 
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
Regel 30 ⟶ 28:
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>a\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{a+v},\ \frac{1}{a+2v},\ \frac{1}{a+3v},\ \frac{1}{a+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots\ </math>
Voor <math>a=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
 
=== Eigenschappen ===
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. AangezienWant uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
:<math>\frac1{t_{n+2}}-\frac1{t_{n+1}} = \frac1{t_{n+1}}-\frac1{t_{n}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n+2} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n}}}~</math>.
 
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
:<math>t_{n+1} = \frac{1}{\frac{2}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}}</math>
 
TevensVoor iselke harmonische terij ziengeldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:
:<math>t_{n} = \frac{12}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+-1}}+\frac{1}{t_{n-+1}}\right)}~</math>.
 
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische_rij"