Harmonische rij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Toegevoegd: een formule voor de 'algemene term' en een subkopje 'Eigenschappen'. Zie OP voor tekstwijziging bij de eerste en tweede eigenschap. |
Versie 52573222 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. Voor de zoveelste keer: géén . achter ... aan einde zin! En geen fouten toevoegen aub. Label: Ongedaan maken |
||
Regel 30:
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>a\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{a+v},\ \frac{1}{a+2v},\ \frac{1}{a+3v},\ \frac{1}{a+4v},\ \ldots
Voor <math>a=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen.
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
▲Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van opvolgende termen, volgt voor een drietal <math>\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
Voor elke harmonische rij geldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:▼
:<math>t_{n+1} = \frac{1}{\frac{
▲
:<math>\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+1}}+\frac{1}{t_{n-1}}\right)</math>
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
| |||