Wikipedia

Wortel 2: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
wiskunde layout
Labels: Bewerking via mobiel Bewerking via mobiele app
Regel 69:
 
=== Bewijs ===
Stel dat √2<math>\sqrt{2}</math> een [[rationaal getal]] is en wel:▼
Het gegeven bewijs is een voorbeeld van een [[bewijs uit het ongerijmde]]:
: <math>\frac{a}{b\,} = \sqrt{2}=a</math>,▼
 
waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn, dus (geen gemeenschappelijke factoren gemeenschappelijk hebben). Dan volgt na <math>b</math> uit de noemer halen en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]] ▼
▲Stel dat √2 een [[rationaal getal]] is en wel:
:<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math>,
 
: <math>ba^2 =2k 2b^2</math>.▼
▲waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).
 
Noem <math>r</math> en <math>s</math> de grootste machten van <math>2</math> zodat <math>a</math> door <math>2^r</math> en <math>b</math> door <math>2^s</math> zijn te delen, dan is
Dan volgt dat
▲:<math>b\,\sqrt{2}=a</math>
en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]]
 
: <math>2b^22r=a^22s+1</math>.
 
DaaruitDat is onmogelijk, dus volgt datuit <math>a^2</math> eenhet [[evenBewijs uit getalhet ongerijmde|ongerijmde]] is, en dus ook dat <math>a\sqrt{2}</math> zelfeen evenirrationaal getal is, zeg <math>a=2k</math>.
 
[[Euclides van Alexandrië|Euclides]] heeft de stelling in Boek 10 van zijn [[Elementen van Euclides|Elementen]] ook bewezen, maar hij gaf daar een [[bewijs door oneindige afdaling]] dat iets langer is.
Daaruit volgt weer:
:<math>2b^2=(2k)^2=4k^2</math>,
 
dus
▲:<math>b^2=2k^2</math>.
 
Kennelijk is <math>b^2</math> even, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.
 
Door [[Euclides van Alexandrië|Euclides]] is dit [[Getaltheorie|getaltheoretische]] bewijs in Boek 10 van [[Elementen van Euclides|De Elementen]] gegeven.
 
== De A-standaard voor papierformaat ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortel_2"