Vensterfunctie: verschil tussen versies

Een '''vensterfunctie''', in het Engels ''window function'', ''apodization function'' of ''tapering function''<ref>{{cite book | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | author = Eric W. Weisstein | publisher = CRC Press | year = 2003 | isbn = 1-58488-347-2 | url = http://books.google.com/?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA97&dq=apodization+function }}</ref>, is een wiskundige [[functie (wiskunde)|functie]] die nul is buiten een bepaald interval. Zo wordt een functie die nul is buiten een interval, en een constante waarde heeft binnen het interval een ''rechthoekige vensterfunctie'' of ''rechthoekig venster'' genoemd, gezien de vorm die dit venster heeft. Wanneer een ander signaal met de vensterfunctie puntsgewijs wordt vermenigvuldigd is het product nul buiten het interval van de vensterfunctie. Vandaar de benaming ''venster'': men kijkt naar een ander signaal door een ''venster'', waardoor men als het ware een stuk uit het volledige signaal knipt. Indien de vorm binnen het bereik van de vensterfunctie niet constant is, wordt het uitgeknipte stuk van het oorspronkelijk signaal ook nog eens gewijzigd.

De [[fouriertransformatie]] van een sinus, genomen door een rechthoekig venster, is dus een [[sinc-functie]] met haar maximum op de frequentie van de sinus (en een tweede sinc-functie op de negatieve frequentie). De [[fouriertransformatie]] van een rechthoekig tijdsignaal is immers een [[sinc-functie]] in frequentie.

:<math>f(t) \, = \, A \! </math>

op het interval <math>[-T/2 ... T/2] \! </math> en nul daarbuiten,

:<math>f(t) \, = \, A \sin(\omega_o t)\! </math>

op het interval <math>[-T/2 ... T/2] \! </math> en nul daarbuiten,

Daarboven komt nog het feit dat de [[fouriertransformatie]] in de praktijk wordt berekend door middel van een [[Fast Fourier transform|FFT]], en deze berekent de [[fouriertransformatie]] in een discrete vorm: het resultaat van de FFT bevat enkel informatie op de veelvouden van de grondfrequentie van de meting, en deze is één gedeeld door de duur van de meting. Een meting van 5 seconden levert dus enkel fouriercoëfficiënten op 0,2&nbsp;Hz, 0,4&nbsp;Hz, 0,6&nbsp;Hz... In het algemeen zullen deze ''zichtbare'' frequenties, de blauwe pieken op de figuur, niet samenvallen met de piek van de getransformeerde van het venster, en wordt er dus geen unieke piek gemeten, maar een gans bos van pieken die hun maximum bereiken in de buurt van de werkelijke frequentie van de te meten sinus. De maximale piek zal echter lager zijn dan de werkelijke sterkte van de sinus.

Alles bij elkaar wordt in het Fourierspectrum een sinus dus vervangen door de [[Fouriertransformatie]] van het gebruikte venster, en wordt dit dan nog eens bemonsterd op de zichtbare frequenties van de Fouriertransformatie. Als de werkelijke frequentie van de sinus niet met een die zichtbare frequenties samenvalt zal de [[fouriertransformatie]] van het gebruikte venster dus niet in zijn maximum worden bemonsterd.

* ''Amplitudefout'': De amplitude wordt te laag gemeten. Deze fout kan in het slechtste geval oplopen tot 36% te weinig, of dus 3,9dB9&nbsp;dB te laag

Het gebruik van andere vensters probeert aan deze fouten iets te doen, maar geen enkel venster kan alle fouten samen verminderen. In het algemeen worden de amplitudefout en leakage samen kleiner (of groter) naargelang de resolutiefout groter (of kleiner) wordt.

[[Bestand:Window Criteria.jpg|thumb|right|Kwaliteitscriteria van een venster: side lobe roll off (deze helling is constant indien de frequentieas logaritmisch is), scalloping loss, breedte van de hoofdlobe op -3−3 dB en hoogte van de hoogste zijlobe]]

* ''Main lobe width'': de breedte van de hoofdlobe. Hoe breder de hoofdlobe, hoe moeilijker sinussen met bijna gelijke frequentie zullen kunnen onderscheiden worden. Bij vensters met een zeer brede hoofdlobe zullen de twee sinussen als één gezamenlijke piek zichtbaar zijn. Deze breedte kan op verschillende wijze worden gegeven, bijvoorbeeld de breedte op -3dB−3dB uitgedrukt in bins. Een bin is het verschil in frequentie tussen twee opeenvolgende fouriercoëfficiënten.

Het rechthoekig venster is ook gekend onder de naam [[Dirichlet]]-venster. Het snijdt gewoon een stuk van lengte N uit een digitaal signaal zonder dat de samplewaarden van het signaal worden gewijzigd. Dit leidt in veel gevallen tot discontinuïteiten aan de randen van het interval waardoor het venster zeer slecht scoort op de criteria betreffende de hoogte zijlobe (slechts 13 onder de centrale lobe). Omdat de side lobe roll off slechts 20 &nbsp;dB met decade bedraagt kampt dit venster met ernstige leakage. Qua resolutie scoort dit venster wel heel goed.

De vorm is niets anders dan een cosinusvorm die aan beide uiteinden nul wordt. Hierdoor worden discontinuïteiten aan de uiteinden vermeden. De side lobe roll off scoort heel goed met 60 &nbsp;dB/decade.

Dit is een optimalisatie van het Hanning-venster. De vorm is een kleine constante plus een cosinusvorm. De optimalisatie is zodanig dat de hoogte van de eerste zijlobe gevoelig wordt onderdrukt. De prijs die hiervoor betaald wordt is een minder snelle afname van de zijlobes: de side lobe roll off is 20 &nbsp;dB/decade, net zoals het rechthoekig venster. Omdat de hoogste zijlobe echter veel lager ligt dan bij het rechthoekig venster en het verval bij beide vensters gelijk is, scoort het Hamming-venster beter dan het rechthoekig venster op het gebied van detectie van zwakkere componenten in het signaal.

Dit venster heeft een hoofdlobe die tweemaal zo breed is als het rechthoekig venster, en een hoogste zijlobe op -26 −26&nbsp;dB.

:<math>a_0=0.{,}35875;\quad a_1=0.{,}48829;\quad a_2=0.{,}14128;\quad a_3=0.{,}01168\,</math>

:<math>a_0=1;\quad a_1=1.{,}93;\quad a_2=1.{,}29;\quad a_3=0.{,}388;\quad a_4=0.{,}032\,</math>

!main lobe width op -3 −3&nbsp;dB

|Rechthoekig ||-3.−3,92||0.,89||-13−13||-20−20

|Driehoekig ||-1.−1,82||1.,28||-26−26||-40−40

|Hanning ||-1.−1,42||1.,44||-31−31||-60−60

|Hamming ||-1.−1,78||1.,30||-41−41||-20−20

|Kaiser(a=3) ||-1.−1,02||1.,71||-69−69||-20−20

|Blackman Harris (3 sample) ||-1.−1,13||1.,66||-71−71||-20−20

|Flat top ||< 0.,01||2.,94||-44−44||-20−20

* E.C. Ifeachor, B.W. Jervis "Ditigal Signal Processing, a practical approach" Addison-Wesley Publ.Company {{ISBN |0-201-54431-8}}

* S.K. Mitra "Digital Signal Processing, a computer based approach" McGraw-Hill International Edition {{ISBN |007-124467-0}}

* A.W.M. van den Enden, N.A.M. Verhoeckx "Discrete-time Signal Processing, an introduction" Prentice Hall, {{ISBN |0-13-216755-7}}