Machtreeks: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k complexwaardige functie |
k <math> met AWB |
||
Regel 4:
Daarin heet het (complexe) getal ''a<sub>n</sub>'' de [[coëfficiënt]] van de ''n''-de term.
De machtreeks is een [[complexwaardige functie]] in de variabele ''x''.
Een voorbeeld van een machtreeks is de [[Maclaurin-reeks|Maclaurinreeks]].
Als de machtreeks slechts convergeert in een omgeving van het complexe getal ''c'' zal men de machtreeks vaak schrijven (met andere coëfficiënten) in de vorm:
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + \cdots </math>
Om die reden spreekt men soms van de machtreeks als ''gecentreerd'' rondom ''c''. Een voorbeeld van een machtreeks is de [[Taylor-reeks|Taylorreeks]] van een bekende [[functie (wiskunde)|functie]].
De complexe waarden van <math>x-c</math> waar de machtreeks absoluut [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]], vormen:
Regel 21:
== Meetkundige reeks ==
Als alle coëfficiënten gelijk zijn aan 1, verkrijgen we een ''[[meetkundige reeks]]''
:<math>
Deze is [[absolute convergentie|absoluut convergent]] [[dan en slechts dan als]] de [[absolute waarde]] van <math>z</math> strikt kleiner is dan 1. Het [[Convergentie (wiskunde)|convergentiegebied]]
Regel 28:
== Taylorreeksen ==
Elke [[analytische functie]] <math>g(z)</math> die gedefinieerd is in een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van 0, kan geschreven worden in de vorm van een machtreeks. Deze machtreeks kan relatief eenvoudig gevonden worden als de [[Taylorexpansie|Taylorreeks]] van <math>g</math> rond het punt 0:
:<math>g(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} g^{(n)}(0)</math>.
Hierbij is <math>g^{(n)}</math> de n-de [[afgeleide]] van de functie <math>g</math>.
De convergentiestraal van een Taylorreeks is de [[afstand]] van 0 tot de dichtstbijzijnde [[singulariteit (wiskunde)|singulariteit]] van de functie ''g'' (met andere woorden, de absolute waarde van die singulariteit).
| |||