Multilineaire afbeelding: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
paragraaf was irrelevant geworden sinds naamverandering multilineair -> multilineaire afbeelding |
voorbeeld: determinant is multilineair in de kolommen |
||
Regel 18:
Een [[bilineaire afbeelding]] is een multilineaire [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] op een [[Cartesisch product|product]] van precies twee [[moduul|modulen]]. Analoog spreekt men soms van ''trilineaire, quadrilineaire, ...'' [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]]en.
==Voorbeeld==
De [[determinant]] van een vierkante <math>n\times n</math>-[[Matrix (wiskunde)|matrix]] kan worden opgevat als een ''n''-lineaire vorm op de kolommen.
Bekijk de algemene <math>3\times3</math>-determinant
:<math>\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg</math>
Als we alle 9 elementen van de matrix afzonderlijk verdubbelen, krijgen we niet het dubbele maar het achtvoudige van de oorspronkelijke determinant omdat elk van de termen in het rechterlid met 2<sup>3</sup> wordt vermendigvuldigd. De determinant is dus ''geen'' lineaire vorm op de ruimte der <math>3\times3</math>-matrices.
Als we evenwel slechts de 3 elementen van één kolom verdubbelen, verdubbelt ook de determinant, en in het algemeen geldt voor willekeurige getallen <math>\alpha_1</math> en <math>\alpha_2</math>:
:<math>\begin{vmatrix} \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 & b & c\\ \alpha_1d_1 + \alpha_2d_2 & e & f\\ \alpha_1g_1 + \alpha_2g_2 & h & i \end{vmatrix}
=\alpha_1\begin{vmatrix} a_1 & b & c\\ d_1 & e & f\\ g_1 & h & i \end{vmatrix}
+\alpha_2\begin{vmatrix} a_2 & b & c\\ d_2 & e & f\\ g_2 & h & i \end{vmatrix}</math>
met analoge gelijkheden voor de tweede en de derde kolom. Dit betekent dat de determinant een trilineaire vorm is op de ruimte der 3-kolommen.
== Verschil met sesquilineair ==
| |||