Wikipedia

Driehoekscentrum: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
Zoals het [[middelpuntMiddelpunt (meetkunde)|middelpunt]] een bijzonder punt is in een [[cirkel]] en een [[vierkantVierkant (meetkunde)|vierkant]], zo is een '''driehoekscentrum''' of '''merkwaardig punt van een driehoek''' een punt in een [[driehoekDriehoek (meetkunde)|driehoek]] met een bijzondere [[meetkundeMeetkunde|meetkundige]] eigenschap. Voorbeelden van driehoekscentra zijn het [[hoogtepuntHoogtepunt (meetkunde)|hoogtepunt]], het [[zwaartepunt]] en de middelpunten van de [[omgeschreven cirkel]] en de [[ingeschreven cirkel]]. Naast deze punten, die al in de oudheid bekend waren, zijn er inmiddels (julimeer 2012)dan zo'n 540010.000 driehoekscentra bekend. De driehoekscentra zijn alleen afhankelijk van de [[hoekpuntHoekpunt (meetkunde)|hoekpunt]]en van de driehoek en [[Invariant (wiskunde)|invariant]] onder [[gelijkvormigheidstransformatiecoördinatentransformatie]]s. Dat betekent dat de driehoeksgebonden coördinaten van een driehoekscentrum aan speciale voorwaarden voldoen.
 
== Definitie ==
Een ''driehoekscentrum'' van een driehoek met zijden met lengtes ''{{math|a''}}, ''{{math|b''}} en ''{{math|c''}} is een punt waarvan de [[barycentrische coördinaten]], dan wel de [[trilineaire coördinaten]], zijn te schrijven als <{{math>\left( |f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b) \right)</math>}}, met <{{math>|f</math>}} een functie die voldoet aan:
* {{math|f≢0}}
* <math>f\not \equiv 0 </math>
* <{{math>|f(x,y,z) {{=}} f(x,z,y) </math>}}
* <math>\exists r \in \R\ \forall \lambda > 0 : f(\lambda x,\lambda y, \lambda z) = \lambda^r f(x,y,z)</math>.
 
Overigens bepaalt elke functie met bovengenoemde eigenschappen een driehoekscentrum, zij het dat meerdereverschillende van dergelijke functies hetzelfde driehoekscentrum kunnen bepalen.
 
Vaak wordt van een driehoekscentrum slechts de eerste van de trilineaire of barycentrische coördinaten gegeven. Dit is voldoende, omdat uit de definitie volgt dat de andere twee coördinaten bepaald kunnen worden door cyclische verwisseling van de zijden ''{{math|a''}}, ''{{math|b''}} en ''{{math|c''}} kunnen worden bepaald.
 
Niet alle bijzondere punten in een driehoek zijn driehoekscentra, de [[punten van Brocard]] voldoen bijvoorbeeld niet. De functies die de coördinaten van deze punten beschrijven voldoen niet aan de eerste eis.▼
==Herkomst==
Deze beschrijving gaat terug tot [[Oene Bottema]]<ref>Bottema, O. "Het begrip 'merkwaardig' met betrekking tot punten in de driehoeksmeetkunde", ''Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde'', 69 (1981-82) 2-7.</ref>, maar Bottema was niet tevreden met deze beschrijving, omdat die inhoudt dat wanneer twee punten ''merkwaardig'' zijn, alle punten op hun verbindings[[lijn (meetkunde)|lijn]] dat ook zijn. [[Clark Kimberling]], een [[Verenigde Staten|Amerikaans]] wiskundige, voerde de definitie toch in<ref>Kimberling, C. "Triangle Centers as Functions", ''Rocky Mtn. J. Math.'', 23 (1993) 1269-1286.</ref>, en gebruikte hem om uiteindelijk een encyclopedie van driehoekscentra, de online te raadplegen ''Encyclopedia of Triangle Centers''<ref>Online beschikbaar via [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ Encyclopedia of Triangle Centers].</ref>, aan te leggen. Hij heeft daarin alle driehoekscentra een [[Kimberlingnummer]] gegeven, en heeft daarin breed navolging gevonden.▼
 
== Kimberlingnummer ==
==Voorbeelden==▼
▲Deze beschrijving gaat terug tot [[Oene Bottema]],<ref>[[Oene Bottema,]] Oin Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde. "Het begrip 'merkwaardig' met betrekking tot punten in de driehoeksmeetkunde", ''Nieuw1981-82. Tijdschrift voor Wiskunde'',jaar 69 (1981-82)blz 2-7.</ref>, maar Bottema was niet tevreden met deze beschrijving, omdat die inhoudt dat wanneer twee punten ''merkwaardig'' zijn, alle punten op hun verbindings[[lijn (meetkunde)|lijn]]verbindingslijn dat ook zijn. [[Clark Kimberling]], een [[Verenigde Staten|Amerikaans]] wiskundige, voerde de definitie toch in,<ref>{{en}} [[Clark Kimberling,]] Cin Rocky Mountain Journal of Mathematics. " Triangle Centers as Functions", ''Rocky Mtn1993. J. Math.'',vol 23 (1993)blz 1269-1286.</ref>, en gebruikte hem om uiteindelijk een encyclopedie van driehoekscentra, de online te raadplegen ''Encyclopedia of Triangle Centers'',<ref>Online{{en}} beschikbaarClark viaKimberling. [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ Encyclopedia of Triangle Centers].</ref>, aan te leggen. Hij heeft daarin alle driehoekscentra een [[Kimberlingnummer]] gegeven, en heeft daarin breed navolging gevonden.
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, <math>X_1</math>, in de encyclopedie aangeduid met <math>X(1)</math>, heeft trilineaire coördinaten <math>(1:1:1)</math> en barycentrische coördinaten <math>(a:b:c)</math>. Voor de trilineaire geldt: <math>f\equiv 1</math> en voor de barycentrische <math>f(x,y,z)=x</math>.▼
 
▲== Voorbeelden ==
Het zwaartepunt,<math>X_2</math>, in de encyclopedie aangeduid met <math>X(2)</math>, heeft trilineaire coördinaten <math>(1/a:1/b:1/c)=(bc:ac:ab)</math> en barycentrische coördinaten <math>(1:1:1)</math>. Voor de trilineaire geldt: <math>f(x,y,z)=1/x</math> of <math>f(x,y,z)=yz</math> en voor de barycentrische <math>f\equiv 1</math>.▼
* De drie eerste driehoekscentra van een driehoek: het middelpunt van de [[omgeschreven cirkel]], het zwaartepunt en de het hoogtepunt van liggen op één lijn, op de [[rechte van Euler]].
 
▲* Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, <math>X_1</math>, in de encyclopedie aangeduid met <{{math>|X(1)</math>}}, heeft trilineaire coördinaten <{{math>|(1:1:1)</math>}} en barycentrische coördinaten <{{math>|(a:b:c)</math>}}. Voor de trilineaire geldt: <{{math>f\equiv 1</math>|f≡1}} en voor de barycentrische <{{math>|f(x,y,z){{=}}x</math>}}.
==Opmerking==
▲* Het zwaartepunt,<math>X_2</math>, in de encyclopedie aangeduid met <{{math>|X(2)</math>}}, heeft trilineaire coördinaten <{{math>|(1/a:1/b:1/c){{=}}(bc:ac:ab)</math>}} en barycentrische coördinaten <{{math>|(1:1:1)</math>}}. Voor de trilineaire geldt: <{{math>|f(x,y,z){{=}}1/x</math>}} of <{{math>|f(x,y,z){{=}}yz</math>}} en voor de barycentrische <math>f\equiv 1</{{math>|f≡1}}.
▲Niet alle bijzondere punten in een driehoek zijn driehoekscentra, de [[punten van Brocard]] voldoen bijvoorbeeld niet. De functies die de coördinaten van deze punten beschrijven voldoen niet aan de eerste eis.
 
{{Appendix}}
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoekscentrum"