Equivalentierelatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k WPCleaner v1.38 - Link naar doorverwijspagina aangepast. Help mee! - Partitie (wiskunde) |
|||
Regel 70:
Een aantal eigenschappen van quotiëntverzamelingen wordt hieronder bewezen.
;Eigenschap 1:Van iedere equivalentierelatie ~ op ''X'' is de quotiëntverzameling ''X''/~ een [[partitie (
(''Bewijs'') Zij ~ een equivalentierelatie op ''X''. Uit gevolg 1 in de paragraaf over equivalentieklassen volgt dat iedere ''x'' <math>\in</math> ''X'' in precies één equivalentieklasse van ''X'' zit. Daarbij zitten per definitie van ''quotiëntverzameling'' alle equivalentieklassen van ''X'' in ''X''/~ en heeft ''X''/~ verder geen elementen. Dan volgt dus dat iedere ''x'' <math>\in</math> ''X'' in precies één element van ''X''/~ zit. Uit de definitie van ''equivalentieklasse'' volgt verder dat er geen elementen ''u'' <math>\notin</math> ''X'' in enige equivalentieklasse van ''X'' zitten, wat samen met het voorgaande bewijst dat de [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van alle elementen van ''X''/~ gelijk aan ''X'' is. De [[lege verzameling]], ten slotte, is geen element van de quotiëntverzameling. In de quotiëntverzameling zitten immers enkel equivalentieklassen en uit eigenschap 1 van equivalentieklassen volgt dat die altijd ten minste één element hebben.
Regel 80:
== Hoofdstelling ==
Er is een diepe overeenkomst tussen equivalentierelaties op en [[
Gegeven een partitie ''P'' van een verzameling ''X'' definiëren we de relatie ~<sub>''P''</sub> op ''X'', waarvoor geldt dat voor alle ''x'', ''y'' <math>\in</math> ''X'':
| |||