Versie van 3 nov 2013 18:26 bewerken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 33.893 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 4 nov 2013 12:57 bewerken ongedaan maken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 33.893 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: In de [[groepentheorie]], een onderdeel van de [[abstracte algebra]], is een '''nevenklasse''' binnen een [[Groep (wiskunde)\|groep]] ''G'' een [[deelverzameling]] van de elemnten van ''G'', die ontstaat door de elementen van een [[Ondergroep (wiskunde)\|ondergroep]] ''H'' van ''G'' te vermenigvuldigen met een willekeurig, vast element ''hg'' van ''G''. Het aantal elementen in een nevenklasse ''gH'' of ''Hg'' van de ondergroep ''H'' van ''G'' is dus gelijk aan het aantal elementen in ''H'' zelf. De vermenigvuldiging van twee elementen van een groep is iets anders dan de vermenigvuldiging van twee [[Getal (wiskunde)\|getallen]]. == Definitie == Regel 17: In een [[abelse groep]] zijn linker- en rechternevenklassen gelijk. In een ~~[[abelse groep\|~~niet-abelse groep]] kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De [[normalisator]] van ''H'' in ''G'' is de verzameling elementen van ''G'' waarvoor de desbetreffende linker- en rechternevenklasse identiek zijn. Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep ''H'' identiek zijn voor alle elementen ''g'' van ''G'', dan noemen we ''H'' een [[normaaldeler]] van ''G'' en we spreken kortweg van '''nevenklassen'''. In dat geval kunnen we ''G/H'' ook uitrusten met een [[groepsbewerking]] en spreken we van de [[factorgroep]] van ''G'' over ''H''. Regel 25: == Voorbeelden == === Voorbeeld in een abelse groep === Beschouw de [[~~veelvoud~~Veelvoud (wiskunde)\|veelvouden]] van [[8 (getal)\|8]] als [[ondergroep (wiskunde)\|ondergroep]] van de [[geheel getal\|gehele getallen]] met de gewone optelling: :<math>8\mathbb{Z}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,24,\ldots\}</math> Regel 33: === Voorbeeld in een niet-abelse groep === Beschouw de groep ''SO''(3) der [[rotatie (voorwerp)\|rotaties]] van de reële driedimensionale [[ruimte (wiskunde)\|ruimte]]. Dit is een [[Lie-groep]], maar in dit voorbeeld speelt slechts de [[algebraïsche structuur]] een rol. Beschouw een orthonormaal [[coördinatenstelsel]] (''x'',''y'',''z'') en noem ''H'' de ondergroep van ''SO''(3) die bestaat uit de rotaties om de ''Z''-as. Noteer ''r'' voor de rotatie ter grootte van een [[rechte hoek]] om de ''Y''-as die de ''Z''-as op de ''X''-as afbeeldt, met behoud van de positieve [[~~oriëntatie~~Oriëntatie (meetkunde)\|oriëntatie]]. De linkernevenklasse ''rH'' bestaat uit alle rotaties die de ''Z''-as oriëntatiebewarend op de ''X''-as afbeelden. De rechternevenklasse ''Hr'' bestaat uit alle rotaties die de ''X''-as met omkering van de oriëntatie op de ''Z''-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn verschillend, ze hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk ''r'' zelf. De ondergroep ''H'' is geen normaaldeler van ''SO''(3). De [[normalisator]] van ''H'' in ''SO''(3) is ''H'' zelf. == Cardinaliteit == De samenstelling met een vast element ''g'' is een [[permutatie]] van ''G'', dus alle nevenklassen van ''H'' hebben evenveel elementen als ''H'' zelf. De verschillende linkernevenklassen van ''H'' zijn onderling [[~~disjuncte~~Disjuncte verzamelingen\|disjunct]]. Uit het bovenstaande volgt voor [[eindige groep]]en de [[~~stelling~~Stelling van Lagrange (groepentheorie)\|stelling van Lagrange]] over de [[Orde (groepentheorie)\|orde]], het aantal elementen, van een ondergroep: :De orde van G is het product van de orde van H met het aantal linkernevenklassen van H in G.

Nevenklasse: verschil tussen versies