Vectorruimte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →Voortbrengend deel, vrij deel, basis en dimensie: verduidelijking |
k →Coördinaten- en functieruimten: typo |
||
Regel 66:
Het eerste voorbeeld van een vectorruimte over een veld ''F'' is het veld zelf uitgerust met zijn standaard operaties van optellen en vermenigvuldigen. Dit is het geval ''n'' = 1 van een vectorruimte, die meestal wordt aangeduid door ''F''<sup>''n''</sup>, en die bekendstaat als de ''[[coördinatenruimte]]'', waarvan de elementen [[tupel|''n''-tupels]] (rijen van lengte ''n'') zijn:
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>), waar de ''a''<sub>''i''</sub> elementen van ''F'' zijn.<ref> {{aut|[[Serge Lang|Lang, Serge]]}} (1987), hoofdstuk I.1</ref>
Het geval dat ''F'' = '''R''' en ''n'' = 2 werd reeds in de inleiding hierboven besproken. Oneindige coördinatenrijen en meer in het algemeen functies van elke vaste verzameling Ω naar een veld ''F'' vormen ook vectorruimten, door de optelling en de scalaire vermenigvuldiging puntsgewijze uit te
:(''ƒ''+ ''g'')(''w'') = ''ƒ''(''w'') + ''g''(''w'')
en hetzelfde geldt voor vermenigvuldiging. Zulke [[functieruimte]]n komen in vele meetkundige situaties voor, bijvoorbeeld wanneer Ω de [[reële lijn]], een [[Interval (wiskunde)|interval]], of andere [[deelverzameling]]en van '''R'''<sup>''n''</sup> voorstelt. Veel begrippen uit de [[topologie]] en de [[analyse (wiskunde)|analyse]], zoals [[Continue functie (analyse)| continuïteit]], [[integraalrekening|integreerbaarheid]] of [[differentiaalrekening|differentieerbaarheid]] gedragen zich goed met betrekking tot de lineariteit: optellingen en scalaire veelvoud van functies, die een dergelijk eigenschap bezitten, beschikken na optelling en scalaire vermenigvuldiging nog steeds over deze eigenschap.<ref>{{aut|Lang, Serge}}, (1993), hoofdstuk XII.3., blz. 335</ref> Daarom bestaat de verzameling van dergelijke functies uit vectorruimten. Zij worden meer in detail bestudeerd door gebruik te maken van de methoden uit de [[functionaalanalyse]], Algebraïsche beperkingen leveren ook vectorruimten op: de <cite id=labelPolynomialRing> [[veeltermring|vectorruimte ''F''[x]]]</cite> wordt gegeven door [[polynoom|polynomiale functie]]s:
| |||