Wikipedia

Booleaanse algebra: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Electonicsboy (overleg | bijdragen)
41 bewerkingen
k Electonicsboy heeft pagina Booleaanse algebra hernoemd naar Boolese algebra over een doorverwijzing: De correcte naam is "Boolese algebra" of "Boole-algebra". (zie overleg) De term Booleaanse is een slechte vertaling van het Engels
Electonicsboy (overleg | bijdragen)
41 bewerkingen
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
{{Zijbalk algebraïsche structuren}}
In de [[wiskunde]], met name de [[abstracte algebra]], en in de [[informatica]] is een '''BooleaanseBoolese algebra''' of '''Boole-algebra''' een [[algebraïsche structuur]] met de [[logica (wetenschap)|logische]] [[operator]]en AND (en), OR (of) en NOT (niet). Deze operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]], [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] en [[complement (verzamelingenleer)|complement]] uit de [[verzamelingenleer]].
 
Zo is het logische "[[uitgesloten derde]]", dat stelt dat een uitspraak waar is of onwaar, equivalent met de regel dat de vereniging van een verzameling en z'n complement alle in het geding zijnde elementen bevat.
Regel 6:
:<math>A \cup A^C = U</math>.
 
Complementair daaraan is de logische vaststelling dat een uitspraak en z'n ontkenning niet samen waar kunnen zijn. Dit wordt voor verzamelingen weerspiegeld in de regel dat een verzameling en z'n complement geen gemeenschappelijk element hebben.weerspi
 
:<math>A \cap A^C = \empty</math>.
 
De [[Booleaanse operator]]en zijn genoemd naar de [[Verenigd Koninkrijk|Brit]] [[George Boole]], die ze in het midden van de [[19e eeuw]] invoerde. Booleaanse algebra is een poging om algebraïsche technieken te gebruiken teneinde te kunnen omgaan met logische uitdrukkingen. De Booleaanse algebra vindt bijvoorbeeld zijn toepassing in het samenstellen van [[digitaal|digitale]] [[elektronica|elektronische schakelingen]], zoals die onder andere in [[computer]]s worden gebruikt. In de praktijk kan men de werking ervan onder meer zien in sommige [[zoekmachine|zoeksystemen]] voor internetpagina's.
 
==Definitie==
Een '''Boole-algebra''' bestaat uit een verzameling ''A'', voorzien van twee [[binaire operatie|binaire bewerking]]en "en" (Engels: "''meet''") <math>\and</math> (logische ''AND''), "of" (Engels: "''join''") <math>\or</math> (logische OR), een [[unaire bewerking]] "niet" <math>\lnot</math> (logische ''NOT'') en twee elementen 0 (logische ''FALSE'') en 1 (logische ''TRUE''):
 
{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!colspan=2|symbolen
|-
|en||meet, and||<math>\and</math>||<math> \times</math>
|-
|of||join, or||<math>\or</math>||<math> +</math>
|-
|niet||not||<math>\lnot</math>||<math>\sim</math>
|-
|0||false||0
|-
|1||true||1
|}
 
Andere bewerkingen zijn:
{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!symbool
|-
|niet-en||nand||<math>\lnot(a \and b)</math>
|-
|niet-of||nor||<math>\lnot(a \or b)</math>
|-
|exclusieve of||xor||<math>(a \or b) \and \lnot (a \and b)</math>
|}
 
Er is sprake van een Boole-algebra indien voldaan is aan de volgende [[axioma]]'s:
 
[[associativiteit]]
:<math> a \or (b \or c) = (a \or b) \or c </math>
:<math> a \and (b \and c) = (a \and b) \and c </math>
 
[[commutativiteit]]
:<math> a \or b = b \or a </math>
:<math> a \and b = b \and a </math>
 
[[Absorberend element|absorptie]]
:<math> a \or (a \and b) = a </math>
:<math> a \and (a \or b) = a </math>
 
[[distributiviteit]]
:<math> a \or (b \and c) = (a \or b) \and (a \or c) </math>
:<math> a \and (b \or c) = (a \and b) \or (a \and c) </math>
 
[[complement (verzamelingenleer)|complement]]
:<math> a \or \lnot a = 1 </math>
:<math> a \and \lnot a = 0 </math>
 
De eerste drie paren axioma's, associativiteit, commutativiteit en absorptie, houden in dat het drietal (''A'', <math>\and</math>, <math>\or</math>) een [[tralie (wiskunde)|tralie]] is.
 
Uit de axioma's volgt dat in de [[partiële orde]]ning van het tralie 0 het kleinste element en 1 het grootste element is. (Die partiële ordening wordt bepaald door a ≤ b te noemen als <math>a=a\and b</math>.)
 
Verder volgt uit de axioma's dat het complement ¬''a'' van een element ''a'' eenduidig bepaald is en dat:
 
[[idempotentie]]
:<math> a \or a = a</math>
:<math> a \and a = a </math>
 
kleinste en grootste elementen
:<math> a \or 0 = a </math>
:<math> a \and 1 = a </math>
 
:<math> a \or 1 = 1 </math>
:<math> a \and 0 = 0 </math>
 
[[complement (verzamelingenleer)|complementen]]
:<math> \lnot 0 = 1 </math>
:<math> \lnot 1 = 0 </math>
 
[[Wetten van De Morgan|regels van de Morgan]]
:<math> \lnot (a \or b) = \lnot a \and \lnot b</math>
:<math> \lnot (a \and b) = \lnot a \or \lnot b</math>
 
[[involutie (wiskunde)|involutie]]
:<math> \lnot \lnot a = a </math>.
 
==Notatie==
Soms wordt vanwege een zekere mate van overeenkomst een "+" gebruikt voor <math>\or</math> en een "." voor <math>\and</math>. Voor wie bekend is met getallen[[algebra]], schept deze notatie verwarring, omdat deze symbolen, die ook in getallenalgebra worden gebruikt, hier een andere betekenis hebben.
: '''+'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;betekent ''OR'' (OF)
: '''·'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;betekent ''AND'' (EN)
: <math>\overline A</math> betekent ''NOT'' <math>A</math> (NIET)
Booleaanse algebra werkt met variabelen die slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Voorbeelden van vergelijkingen:
 
<math>\begin{matrix} 1+1=1 \end{matrix}</math>
 
<math>\begin{matrix} A+B.C=(A+B).(A+C) \end{matrix}</math>
 
<math>\begin{matrix} A+ \overline{A}.B=A+B \end{matrix}</math>
 
Soms wordt ook een vierde Booleaanse operator gehanteerd, de ''exclusive OR - XOR'' (EXCLUSIEVE OF, of [[exclusieve disjunctie]]), gedefinieerd door de regel
:: <math>A\oplus B=A.\overline B+B.\overline A</math>
(ook te schrijven als <math>(A \and \lnot B) \or (B \and \lnot A)</math>)
 
De operator <math>\oplus</math> gedraagt zich ongeveer als de klassieke getallenoperator <math>+</math>, weliswaar met de eigenaardigheid dat <math>1\oplus1=0</math>
 
Een ''volledig'' stel logische uitdrukkingen wordt gemodelleerd door een [[algebra van verzamelingen]]. Het is, in de formele zin, een associatieve [[algebra (structuur)|algebra]] met eenheidselement over het [[Lichaam_(Ned)_/_Veld_(Be)|lichaam (in België: veld)]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,1\}</math> met de bewerkingen <math>\oplus</math> en <math>.</math>
 
==Voorbeelden==
De eenvoudigste Boole-algebra bestaat slechts uit de elementen 0 en 1. De rekenregels volgen uit de axioma's:
{|
|-
| width="100" |
|
{| class="wikitable"
!<math>\and</math> || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1
|}
| width="40" |
|
{| class="wikitable"
!<math>\or</math> || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 1
|}
| width="20" |
|
{| class="wikitable"
! a || <math>\lnot </math> a
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 0
|}
|}
 
Een ander voorbeeld van een Boole-algebra wordt gevormd door de [[machtsverzameling]] van een gegeven verzameling ''U'', met de bekende bewerkingen vereniging, doorsnede en complement.
 
==Zie ook==
* [[Booleaanse functie]]
* [[Logische conjunctie]]
* [[Logische disjunctie]]
* [[Robbins-algebra]]
 
{{Commonscat|Boolean algebra}}
 
{{DEFAULTSORT:Booleaanse algebra}}
[[Categorie:Booleaanse algebra| ]]
[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Wiskundige logica]]
[[Categorie:Programmeerconcept]]
 
{{Link GA|pl}}
 
[[af:Boolse algebra]]
[[ar:جبر بولياني]]
[[ast:Álxebra de Boole]]
[[bg:Булева алгебра]]
[[bn:বুলিয়ান বীজগণিত]]
[[bs:Booleova algebra]]
[[ca:Àlgebra de Boole]]
[[cs:Booleova algebra]]
[[de:Boolesche Algebra]]
[[en:Boolean algebra (structure)]]
[[eo:Bulea algebro]]
[[es:Álgebra de Boole]]
[[eu:Booleren aljebra]]
[[fa:جبر بولی]]
[[fi:Boolen algebra]]
[[fr:Algèbre de Boole (structure)]]
[[gl:Álxebra de Boole]]
[[he:אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)]]
[[hr:Booleova algebra]]
[[hu:Boole-algebra]]
[[id:Aljabar Boolean]]
[[io:Booleana algebro]]
[[it:Algebra di Boole]]
[[ja:ブール代数]]
[[ko:불 대수]]
[[lt:Būlio algebra]]
[[mk:Булова алгебра]]
[[no:Boolsk algebra]]
[[pl:Algebra Boole'a]]
[[pms:Àlgebra ëd Boole]]
[[pt:Álgebra booleana]]
[[ru:Булева алгебра]]
[[simple:Boolean algebra]]
[[sk:Boolova algebra]]
[[sl:Booleova algebra]]
[[sr:Булова алгебра]]
[[sv:Boolesk algebra]]
[[th:พีชคณิตแบบบูล]]
[[tl:Alhebrang Boolean]]
[[tr:Boole cebiri]]
[[uk:Булева алгебра]]
[[zh:布尔代数]]
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Booleaanse_algebra"