Axioma's van de kansrekening: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Eigenschappen: kleine toelichting aangebracht |
→Eigenschappen: 2 en 3 vervangen door: eindig aantal |
||
Regel 21:
Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende eigenschappen afleidbaar:
* als ''A'', ''B'' disjuncte gebeurtenissen zijn, d.w.z. <math>A \cap B = \empty</math> geldt: <math>Pr(A \cup B) = Pr(A) + Pr(B)</math>▼
::immers, <math>Pr(A \cup B)=Pr(A \cup B \cup \empty \cup \empty \cup \ldots ) = Pr(A) + Pr(B)</math> ▼
* <math>Pr(\empty) = 0</math>
::immers, <math>\empty \cap \empty = \empty</math>; er geldt dus<br /><math>Pr(\empty)=Pr(\empty \cup \empty) = Pr(\emptyset) + Pr(\empty)</math>
* evenzo: als
▲::immers, <math>Pr(
::want <math>A</math> en <math>B\setminus A</math> zijn disjunct, zodat <math>Pr(A \cup B) = Pr(A \cup (B\setminus A)) = Pr(A) + Pr(B \setminus A)</math>;<br />ook zijn <math>B\setminus A</math> en <math>A \cap B</math> disjunct<br />(immers <math>x \in B\setminus A \implies x \notin A</math> en <math>x \in A \cap B \implies x \in A</math>),<br /> zodat <math> Pr(B)= Pr(B \setminus A) + Pr(A \cap B)</math>.▼
::<math> = Pr(A_1) + Pr(A_2) + \ldots + Pr(A_n)</math>
* als <math>A_1, A_2, \cdots ,A_n</math> paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn (elk tweetal heeft een lege doorsnede), en <math>A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n= \Omega</math>, dan geldt <math>Pr(A_1^{ }) + Pr(A_2) + .... + Pr(A_n) = 1</math>
::dit volgt uit axioma 3, door de keuze <math>A_k=\emptyset</math>, voor k>n in combinatie met axioma 2
▲* als ''A''
▲::want <math>A</math> en <math>B\setminus A</math> zijn disjunct, zodat <math>Pr(A \cup B) = Pr(A \cup (B\setminus A)) = Pr(A) + Pr(B \setminus A)</math>;<br />ook zijn <math>B\setminus A</math> en <math>A \cap B</math> disjunct<br />(immers <math>x \in B\setminus A \implies x \notin A</math> en <math>x \in A \cap B \implies x \in A</math>),<br /> zodat <math> Pr(B)= Pr(B \setminus A) + Pr(A \cap B)</math>.
==Zie ook==
| |||