Vensterfunctie: verschil tussen versies

Een '''vensterfunctie''', in het engelsEngels ''window function'', ''apodization function'' of ''tapering function'', is een wiskundige [[functie_(wiskunde)|functie]] die nul is buiten een bepaald interval. Zo wordt een functie die nul is buiten een interval, en een constante waarde heeft binnen het interval een ''rechthoekige vensterfunctie'' of ''rechthoekig venster'' genoemd, gezien de vorm die dit venster heeft. Wanneer een ander signaal met de vensterfunctie puntsgewijs wordt vermenigvuldigd is het produktproduct nul buiten het interval van de vensterfunctie. Vandaar de benaming ''venster'': men kijkt naar een ander signaal door een ''venster'', waardoor men als het ware een stuk uit het volledige signaal knipt. Indien de vorm binnen het bereik van de vensterfunctie niet constant is, wordt het uitgeknipte stuk van het oorspronkelijk signaal ook nog eens gewijzigd.

Venstersfuncties worden onder meer gebruikt in alle analoge en digitale toepassingsgebieden van [[signaalverwerking]], gevorderde varianten van de [[fouriertransformatie]], [[digitale beeldbewerking|beeldverwerking]] en [[digitale spraakverwerking]]. Ook analoge en digitale filters kunnen op basis van venstersfuncties worden ontworpen.

[[Bestand:Leakage.jpg|thumb|right|Effecten van windowing van 5 seconden op de Fouriertransformatie van een sinus van 5.,26 Hz: groen: werkelijk spectrum op 5.,26 Hz. Rood:convolutie van het sinusspectrum en het spectrum van het gebruikte rechthoekig venster. Blauw: uiteindelijk spectrum dat Fouriercoëfficiënten bevat op de veelvouden van 0.,2Hz. Omdat de werkelijke frequentie van de sinus hiermee niet samenvalt zal leakage optreden.]]

De nevenstaande figuur illustreert de onderstaande uitleg concreet voor een sinus van 5.,26 Hz die wordt waargenomen met een rechthoekig venster van 5 seconden.

De [[fouriertransformatie]] van een sinus, genomen door een rechthoekig venster, is dus een [[sinc -functie]] met haar maximum op de frequentie van de sinus (en een tweede sinc-functie op de negatieve frequentie). De [[fouriertransformatie]] van een rechthoekig tijdsignaal is immers een [[sinc -functie]] in frequentie.

Daarboven komt nog het feit dat de [[fouriertransformatie]] in de praktijk wordt berekend door middel van een [[Fast Fourier transform|FFT]], en deze berekent de [[fouriertransformatie]] in een discrete vorm: het resultaat van de FFT bevat enkel informatie op de veelvouden van de grondfrequentie van de meting, en deze is één gedeeld door de duur van de meting. Een meting van 5 seconden levert dus enkel fouriercoëfficiënten op 0.,2Hz, 0.,4Hz, 0.,6Hz... In het algemeen zullen deze ''zichtbare'' frequenties, de blauwe pieken op de figuur, niet samenvallen met de piek van de getransformeerde van het venster, en wordt er dus geen unieke piek gemeten, maar een gans bos van pieken die hun maximum bereiken in de buurt van de werkelijke frequentie van de te meten sinus. De maximale piek zal echter lager zijn dan de werkelijke sterkte van de sinus.

Een (rechthoekig venster) gebruiken zal dus aanleiding geven tot de volgende fouten:

* ''Amplitudefout'': De amplitude wordt als te laag gemeten. Deze fout kan in het slechtste geval oplopen tot 36% te weinig, of dus 3.,9dB te laag

* ''Resolutiefout'': De werkelijke frequentie van de sinus is niet meer naukeurignauwkeurig te meten, maar ligt tussen de twee hoogste pieken. Ook kan het voorkomen dat twee sinussen met lichtjes verschillende frequentie niet meer afzonderlijk te zien zijn, maar één gezamelijke piek in het spectrum creëren.

* ''Leakage'': De nabijgelegen zichtbare frequenties hebben niet-nulle amplitude, die er in realiteit niet is, maar die wel zwakkere sinussen in het signaal kunnen overstemmen. Dit effect wordt aangeduid met de engelseEngelse benaming ''leakage'', het weglekken van de energie van de werkelijke niet zichtbare frequentie naar nabijgelegen zichtbare frequenties.

Het gebruik van andere vensters probeert aan deze fouten iets te doen, maar geen enkel venster kan alle fouten samen verminderen. In het algemeen worden de amplitude foutamplitudefout en leakage samen kleiner (of groter) naargelang de resoultiefoutresolutiefout groter (of kleiner) wordt.

== Types van Venstersvensters ==

*<math>N\,</math> is de breedte in netpunten van de discrete vorm van het venster. Meestal is dat in de praktijk een machmacht van 2 zodat het [[Fast Fourier Transform]] -algoritme in optimale omstandigheden kan worden toegepast.

Het Hanning -venster is een eenvoudig en goed compromis dat als algemeen bruikbaar venster wordt beschouwd, zonder uitzonderlijke kwaliteiten maar ook zonder grote gebreken.

==== Hamming -venster ====

[[Bestand:Window function (hamming).png|thumb|right|Hamming -venster]]

:<math>w(n) = 0.,54 - 0.,46\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)</math>

Dit is een optimalisatie van het Hanning -venster. De vorm is een kleine constante plus een cosinus vormcosinusvorm. De optimalisatie is zodanig dat de hoogte van de eerste zijlobe gevoelig wordt onderdrukt. De prijs die hiervoor betaald wordt is een minder snelle afname van de zijlobes : de side lobe roll off is 20 dB/decade, net zoals het rechthoekig venster. Omdat de hoogtse zijlobe echter veel lager ligt dan bij het rechthoekig venster en het verval bij beide vensters gelijks is, scoort het Hamming -venster beter dan het rechthoekig venster op het gebied van detectie van zwakkere componenten in het signaal.

==== Tukey -venster ====

[[BEstand:Window function (Tukey; alpha = 0.5).png|thumb|right|Tukey -venster, a=0.5]]

Het Tukey -venster kan worden bschouwd als een cosinusvorm met een breedte <math>\tfrac{\alpha N}{2}</math> die wordt [[convolutie|geconvolueerd]] met een rechthoekig venster met een breedte <math>\left(1 -\tfrac{\alpha}{2}\right)N</math>. Voor a=0 wordt het venster rechthoekig, en voor a=1 een Hanning -venster.

==== Cosinus window-venster ====

[[Bestand:Window function (sine).png|thumb|right|Cosinus -venster]]

==== Driehoekig venster (Bartlett -venster) ====

[[Bestand:Window function (bartlett).png|thumb|right|Bartlett -venster]]

Met eindpunten die nul zijn (Bartlett -venster):

[[Bestand:Window function (triangular).png|thumb|right|TriangularDriehoekig windowvenster]]

==== Kaiser -vensters ====

[[Bestand:Window function (Kaiser; alpha = 2).png|thumb|right|Kaiser -venster, a =2]]

[[Bestand:Window function (Kaiser; alpha = 3).png|thumb|right|Kaiser -venster, a =3]]

Kaiser -vensters zijn gebaseerd op de [[Besselfunctie|Besselfunctgie]], en kunnen niet in een expliciete analytische vorm geschreven worden:

==== Blackman–Harris window-venster ====

[[Bestand:Window function (blackman-harris).png|thumb|right|Blackman–Harris -venster]]

Dit is een veralgemening van een Hanning -venster. Er wordt in het venster nog een tweede cosinusgolf toegevoegd met een dubbele frequentie van die van het Hannning -venster. De bedoeling is het niveau van de zijlobes te verlagen.

Het flat top vensterflattopvenster is ontworpen om de scallop loss, dus de mogelijke fout bij de amplitudemeting van een sinusvormig signaal, te minimaliseren. Een flat top vensterflattopvenster geeft een quasi correcte amplitudemeting. Daar tegenover staat een zeer slechte prestatie op het gebied van resolutie, want de hoofdlobe van een flat top vensterflattopvenster is vijf maal zo breed als bij een rechthoekig venster.

Onderstaande tabel vergelijkt de kwaliteitskarakterstieken van enkele veelgebruikte vensters. De scallop loss verbetert naarmate men lager in de tabel afdaalt, net als het niveau van de hoogste zijlobe. De breedte van de hoofdlobe wordt dan weer slechter. Het flat top venster is een speciaal geval. Signalen waarin sinuscomponenten aanwezig zijn met sterk verschillende amplitude zullen beter bestudeerd worden met vensters die lager in de tabel staan, omdat zwakke componenten kans lopen in het spectrum te worden overstemd door de zijlobes van de sterkere componenten indien een venster van bovenaan de tabel gebruikt wordt. Die vensters zijn dan weer beter geschikt om frequenties nauwkeuriger te meten. In het algemeen is een Hanning -venster een goed compromis.

Indien een signaal te lang is om in één keer te worden behandeld kan men het opdelen en de stukken afzonderlijk bestuderen. Echter, de meeste vensters gaan aan de uiteinden naar nul. Om toch met alle informatie rekening te houden moeten de vensters daarom elkaar gedeeltelijk overlappen. Indien men bijvoorbeeld Hanning -vensters 50% laat overlappen wordt met elk detail in het signaal voor precies 100% rekening gehouden, verdeeld over twee aansluitende vensters.