Associativiteit (wiskunde): verschil tussen versies

Een [[binaire operatie]] <math>*</math> over een [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] S wordt '''associatief''' genoemd indien volgendevoor eigenschapalle x, y en z uit S geldt:

: <math>\forall x,y,z \in S: (x*y)*z = x*(y*z)</math></center>

In de wiskunde is associativiteit een eigenschap van een [[binaire operatie]]. Het betekent dat, wanneer binnen een operatie, waarin twee of meer associatieve [[operatie (wiskunde)|operatoren]] achter elkaar voorkomen, de volgorde, waarin de operatie wordt uitgevoerd wordt niet van belang is, onder de voorwaarde dat de volgorde van de [[operand]]en niet verandert. Dat betekent in de praktijk dat het verplaatsen van haakjes in een expressie de uitkomst van de [[expressie (wiskunde)|expressie]] niet verandert.

Beschouw onderstaandenu twee voorbeelden van binaire associatieve operaties: voorhet [[optellen]] en het [[vermenigvuldigen]] van [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]:.

: a + (b + c) = (a + b) + c (||| voorbeeld: (5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10 en 5 + (2 + 3) = 5 + 5 = 10)

: a × (b × c) = (a × b) × c (||| voorbeeld: (5 × 2) × 3 = 10 × 3 = 30 en 5 × (2 × 3) = 5 × 6 = 30)

Hoewel de haakjes zijn verplaatst, is de uitkomst niet veranderd. Aangezien dit waar is voor elke optelling en vermenigvuldiging van de natuurlijke getallen, kunnen we zeggen dat de optelling en de vermenigvuldiging van wat betreft de natuurlijke getallen eenbeiden "associatieve operatieoperaties" iszijn.