Compacte ruimte: verschil tussen versies

In het algemeen zijn de verschillende noties van compactheid voor [[topologische ruimte]]n echter niet gelijkwaardig, en de meest nuttige notie van compactheid - die oorspronkelijk ''bicompactheid'' werd genoemd - brengt [[famile van verzamelingen|familie]]s van [[open verzameling]]en met zich mee, die de ruimte in die zin "afdekken", dat elk punt van de ruimte in enige verzameling moet liggen, die deeluitmaaktdeel uitmaakt van de familie van verzamelingen. Concreet gesproken is een topologische ruimte compact, als wanneer een collectie van open verzamelingen de ruimte afdekt, enige deelcollectie, die uit slechts een eindig aantal open verzamelingen bestaat ook de ruimte afdekt. Dat deze vorm van compactheid opgaat voor gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte staat bekend als de [[stelling van Heine-Borel]]. Wanneer compactheid op deze manier wordt gedefinieerd kan men vaak informatie die [[lokale eigenschap|lokaal]] bekend is in een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van elk punt van de ruimte - uitbreiden tot informatie die globaal opgaat voor de gehele ruimte. Een voorbeeld van dit fenomeen is de [[stelling van Dirichlet]], waarop dit principe oorspronkelijk werd toegepast door [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]], dat een [[continue functie]] op een compact interval [[uniforme continuïteit|uniform continu]] is; hier is continuïteit een lokale eigenschap van de [[functie (wiskunde)|functie]] en is uniforme continuïteit de corresponderende globale eigenschap.