|
[[Bestand:Commutative Addition.svg|right|thumb|300px|Voorbeeld van de commutativiteit van [[optellen]] (3 + 2 = 2 + 3)]]
Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''commutativiteit''' betekent intuïtief dat de volgorde van twee [[wiskundig object|objecten]] gewijzigd mag worden zonder dat gevolgen heeft voor het eindresultaat. Het is een fundamentele eigenschap in veel takken van de wiskunde. Veel [[bewijs (wiskunde)|bewijzen]] gaan van deze eigenschap uit. Lange tijd werd de commutativiteit van eenvoudige [[Basisoperatie|operaties]] impliciet aangenomen en had de eigenschap geen naam, totdat de wiskundigen in de negentiende eeuw zijn begonnen de [[Grondslagen van de wiskunde|wiskunde]] formeel vast te leggen.
== Algemeen gebruik ==
De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.<ref>Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
1. Een [[binaire operatie]] ∗ op een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] ''S'' wordt ''commutatief'' genoemd als:
:<math>\forall x,y \in S: x * y = y * x \,</math>
:(Voor alle x en y uit de verzameling S geldt dat x maal y is gelijk aan y maal x.)
: - Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt ''niet-commutatief'' genoemd
2. Men zegt dat ''x commuteert'' met ''y'' onder ∗ als:
:<math> x * y = y * x \,</math>
3. Een [[binaire functie]] f:''A'''''×'''''A'' → ''B'' wordt ''commutatief'' genoemd als:
:<math>\forall x,y \in A: f (x, y) = f(y, x) \,</math>
In het algemeen zegt men dat twee elementen ''x'' en ''y'' ''commuteren'' als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig paar elementen commuteert.
De [[centralisator]] van een element ''x'' bestaat uit de elementen van ''S'' die met ''x'' commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling ''D'' van ''S'' bevat de elementen van ''S'' die met alle elementen van ''D'' commuteren.
== Voorbeelden ==
| 