Versie van 11 okt 2009 20:48 bewerken BertS (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 9.835 bewerkingen →‎Afleiding uit het Lagrangeformalisme ← Oudere bewerking		Versie van 28 nov 2009 10:17 bewerken ongedaan maken Xqbot (overleg \| bijdragen) bots 334.742 bewerkingen k robot Erbij: ml:ഹാമില്‍ട്ടോണിയന്‍ ബലതന്ത്രം; cosmetische veranderingen Nieuwere bewerking →
Regel 1: Het '''Hamiltonformalisme''' is een herformulering van het [[Mechanica\|klassiek mechanische]] systeem, die in [[1833]] door de [[Ierland (land)\|Ierse]] wiskundige [[William Rowan Hamilton]] is opgesteld. Het Hamilton-formalisme vertoont veel overeenkomsten met het [[Lagrangiaan\|Lagrangeformalisme]]. Het verschil met de voor dat formalisme kenmerkende tweede orde [[Euler-Lagrange-vergelijking]]en is dat voor hetzelfde mechanische systeem er twee keer zoveel Hamiltoniaanse [[differentiaalvergelijking]]en van de eerste orde zijn. Naast het theoretische belang voor de [[klassieke mechanica]] is het Hamiltonformalisme van groot belang geweest bij de ontwikkeling van de [[kwantummechanica]]. == Afleiding uit het Lagrangeformalisme == Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het Lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met n [[vrijheidsgraad\|vrijheidsgraden]] wordt vastgelegd met een stel [[gegeneraliseerde coördinaten]] <math>q_1,q_2,\ldots,q_n</math>, die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math>, die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. Tijdsafgeleiden van deze en andere [[Natuurkundige grootheid\|natuurkundige grootheden]] worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool van de te differentiëren variabele aangegeven. De verandering van het systeem in de tijd wordt gegeven door de Euler-Lagrangevergelijkingen, :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\quad(i=1,2,\ldots,n).</math> Hierin is <math>L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t)</math> de [[Lagrangiaan]] van het systeem. We introduceren nu voor elke coördinaat <math>q_i</math> de ''gegeneraliseerde impuls'' <math>p_i</math> geassocieerd met <math>q_i</math> door middel van :<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.</math> Verder voeren we de ''Hamiltoniaan'' of ''Hamiltonfunctie'' in, die de [[Legendre-transformatie]] naar <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math> is van de Langrangiaan. Dit is de eerste stap van een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's: :<math>H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t) = \sum_{i=1}^n p_i\dot q_i - L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t),</math> waarbij we de gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_i</math> uitdrukken in de variabelen <math>q_1,\ldots,q_n,p_l,\ldots,p_n,t</math>. Vervolgens berekenen we de ''totale differentiaal'' van de Hamiltoniaan met behulp van de [[productregel]] voor het over i gesommeerde product <math>p_i\dot q_i</math> en het uitschrijven van de totale differentiaal voor <math>L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t)</math> die, op de expliciete afgeleide naar de tijd na, ook een sommatie over i is: :<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(p_i\,\mathrm{d}\dot q_i + \dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\mathrm{d}\dot q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.</math> Door de definitie van <math>p_i</math> in te vullen in zowel bovenstaande uitdrukking als in de Euler-Lagrangevergelijkingen en het resultaat van deze laatste substitutie ook in bovenstaande uitdrukking in te vullen kan de <math>\dot q</math>-afhankelijkheid van H geëlimineerd worden: :<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(\dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \dot p_i\,\mathrm{d}q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.</math> Met behulp van de algemene definitie van de totale differentiaal van H als functie van p, q en t volgen dan de ''vergelijkingen van Hamilton'', ook wel de ''kanonieke bewegingsvergelijkingen genoemd'': Regel 20: Deze vergelijkingen geven de verandering in de tijd van respectievelijk de plaatscoördinaten, de bijbehorende gegeneraliseerde impulsen en de Hamiltoniaan van het systeem (die in veel gevallen geïdentificeerd kan worden met de [[energie]]). == Veralgemening == De [[symplectische meetkunde]] bestudeert [[symplectische variëteit]]en, dit zijn al dan niet gekromde ruimten waarin de bewegingsvergelijkingen in de meetkundige structuur vervat liggen. De coördinaten in de omgeving van een punt van een dergelijke ruimte vormen een combinatie van de plaatscoördinaten ''q<sub>i</sub>'' en de impulscoördinaten ''p<sub>i</sub>.'' Regel 42: [[ja:ハミルトン力学]] [[ko:해밀턴 역학]] [[ml:ഹാമില്‍ട്ടോണിയന്‍ ബലതന്ത്രം]] [[no:Hamiltonmekanikk]] [[pt:Mecânica hamiltoniana]]

Hamiltonformalisme: verschil tussen versies