Kardinaliteit: verschil tussen versies

 

 

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden [[afbeelding (wiskunde)|afgebeeld]], dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling een en niet meer dan een element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook [[functie (wiskunde)|bijectieve functies]]). Deze verzamelingen worden dan ''[[gelijkmachtigheid|gelijkmachtig]]'' of ''equipotent'' genoemd.

 

:Twee verzamelingen ''A'' en ''B'' hebben dezelfde kardinaliteit als er een [[bijectie]] bestaat, dat wil zeggen een [[injectieve functie|injectieve-]] en [[surjectie]]ve [[functie (wiskunde)|functie]] van ''A'' op ''B''.

 

 

:''A'' heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van ''B'' als er een injectieve functie van ''B'' op ''A'' bestaat.

 

:''A'' heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van ''B'' als er injectieve functie, maar geen bijectieve functie, van ''B'' op ''A'' bestaat.

 

 

{{hoofdartikel|Kardinaalgetal}}

 

Voor elke [[ordinaalgetal|ordinaal]] α, is <math>\aleph</math>_{α + 1} het kleinste kardinaalgetal groter dan <math>\aleph</math>_α.

 

Van een [[eindige verzameling]] is de kardinaliteit het aantal elementen in de verzameling; ook omgekeerd geldt: als de kardinaliteit van een verzameling een [[natuurlijk getal]] is, is die verzameling eindig. En twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

 

Een [[oneindige verzameling]] heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de [[eindige verzameling]] op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]; deze kardinaliteit wordt <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten [[oneindig|aftelbaar]] oneindig. Het [[diagonaalbewijs van Cantor]] toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een [[alef]] aangegeven: <math>{}_{}^{\aleph_0}</math>, <math>{}_{}^{\aleph_1}</math>, <math>{}_{}^{\aleph_2}</math>, ..., <math>{}_{}^{\aleph_\omega}</math>, ...

 

{{hoofdartikel|Kardinaliteit van het continuüm}}

 

:<math>\mathbf{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}</math>

:(zie [[Diagonaalbewijs van Cantor]]).

 

:<math>\mathbf{c} = \aleph_1 = \beth_1</math>

:(zie [[Beth-getal]]).

De continuümhypothese kan binnen het algemeen aanvaarde [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer]], tenminste indien deze [[axiomatische verzamelingenleer]] consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

 

In de [[informatica]] slaat kardinaliteit doorgaans op [[relatie (informatica)|relaties]] tussen [[tabel (informatica)|tabellen]] of [[associatie (informatica)|associaties]] tussen [[klasse (informatica)|klassen]]/[[object (informatica)|objecten]] Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

 

*[[Eindig lichaam]]

 

[[sr:Кардиналност]]

[[sv:Kardinalitet]]

[[uk:Потужність множини]]

[[zh:势]]