Positief-definiet: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
categorie voor interwiki |
iets explicieter over definitie en domein |
||
Regel 1:
Een [[bilineair]]e of [[sesquilineair]]e vorm
# De functie is '''positief''' d.w.z. <math>\forall\,x \in K:\langle x,x\rangle \geq 0</math>▼
# <math>\langle x,x\rangle = 0\Leftrightarrow x=0</math>▼
==Formele definitie==
:<math>\langle\cdot,
Deze vorm is positief definiet als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:
:<math>\langle\cdot, \cdot \rangle:\R^n\times\R^n\to \R:(\bold{x},\bold{y})\mapsto \langle\bold{x},\bold{y}\rangle=\sum_{i=1}^n (-1)^i x_iy_i</math>▼
▲#de functie is ''niet-ontaard:'', d.w.z. <math>\forall\,x \in V:\langle x,x\rangle = 0\Leftrightarrow x=0</math>
Deze definitie blijft ongewijzigd gelden voor een sesquilineaire vorm op een [[complex getal|complexe]] vectorruimte.
[[Categorie:Wiskunde]]▼
==Voorbeelden en tegenvoorbeeld==
*Een voorbeeld van een positief definiete bilineaire vorm is het klassiek [[inproduct]] op <math>\R^n</math>:
::<math>\langle\cdot, \cdot \rangle:\R^n\times\R^n\to \R:(\bold{x},\bold{y})\mapsto \langle\bold{x},\bold{y}\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i</math>
*Het product van een complex getal met de toegevoegde van een ander complex getal vormt een positief definiete sesquilineaire vorm op <math>\mathbb{C}</math> zelf, want <math>x.\overline x=|x|^2</math>
*De volgende bilineaire vorm is ''niet'' positief en dus zeker niet positief definiet:
▲::<math>\langle\cdot, \cdot \rangle:\R^n\times\R^n\to \R:(\bold{x},\bold{y})\mapsto \langle\bold{x},\bold{y}\rangle=\sum_{i=1}^n (-1)^i x_iy_i</math>
==Veralgemening==
De definitie kan worden gehandhaafd voor willekeurige bilineaire vormen op [[moduul|modulen]] over [[geordende ring]]en.
| |||