Toegankelijkheidsrelatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
nieuw, begin, gebaseerd op en: en voorbeeld gebaseerd op afbeelding |
voorbeeld verplaatst naar Kripkemodel, uitbreiding over frame-eigenschappen |
||
Regel 3:
==Modale logica==
In de [[modale logica]] is de toegankelijkheidsrelatie een onderdeel van een [[Kripkemodel]]len waarmee de [[semantiek]] van modale logica uitgedrukt kan worden. Een Kripkemodel <math>\mathcal{M}</math> is een [[tupel]] <math>\langle W,R,V \rangle</math> waarbij <math>W</math> een verzameling werelden is, <math>R</math> de toegankelijkheidsrelatie (een binaire relatie tussen werelden) en <math>V</math> een [[functie (wiskunde)|functie]] die aan een [[Atoom (logica)|atomaire formule]] <math>p</math> een verzameling werelden toekent waarin <math>p</math> waar is. De verzameling <math>W</math> en de toegankelijkheidsrelatie <math>R</math> worden samen ook het ''frame'' genoemd.
Om een modale logica te verkrijgen kan men [[propositielogica]] uitbreiden met twee operatoren, <math>\Box</math> en <math>\Diamond</math>, om modaliteiten uit te drukken. Hierbij kan <math>\Box</math> staan voor "het is noodzakelijk dat ..." en <math>\Diamond</math> voor "het is mogelijk dat ..." (er geldt: <math>\Box \equiv \neg \Diamond \neg</math>). In deze modale logica bestaan logische formules uit propositionele formules waarin ook deze modale operatoren kunnen voorkomen. Voorbeelden van formules zijn <math>\Box p</math>, <math>\Box \Diamond q</math> en <math>\Diamond \Diamond (p \rightarrow \Box q)</math>.
Regel 16:
Uit deze definities volgt dat een <math>\Box</math>-formule ook waar is als er geen <math>(w, w') \in R</math> zijn voor een bepaalde wereld <math>w</math> terwijl een <math>\Diamond</math>-formule alleen waar is als er tenminste een <math>(w, w') \in R</math> is voor wereld <math>w</math>.
===
Het is mogelijk om beperkingen op te leggen aan wat wel en niet een geldige toegankelijkheidsrelatie is. Zo kan men modellen beschouwen waarin elke wereld ook toegankelijk is vanuit zichzelf: de toegankelijkheidsrelatie <math>R</math> is dan een [[reflexieve relatie]] aangezien er voor elke wereld <math>w</math> een element <math>(w, w) \in R</math> bestaat.
Enkele bekende kenmerken van een frame (de verzameling <math>W</math> en de toegankelijkheidsrelatie <math>R</math>) zijn:
*<math>\forall w, v, u \in W \quad (w, v) \in R</math> en <math>(v, u) \in R \Rightarrow (w, u) \in R</math> (transitiviteit)
*<math>\forall w, v \in W \quad (w, v) \in R \Rightarrow (v, w) \in R</math> (symmetrie)
*<math>\forall w, v, u \in W \quad (w, v) \in R</math> en <math>(w, u) \in R \Rightarrow (v, u) \in R</math> (euclidiciteit)
*<math>\forall w \in W \ \exists v \in W \ (w, v) \in R</math> (serialiteit)
Door de toegankelijkheidsrelatie van een frame te beperken zijn er formules die waar zijn voor elke wereld in een model met dat frame. In een model met een reflexieve toegankelijkheidsrelatie geldt bijvoorbeeld de formule <math>\Box \phi \rightarrow \phi</math> in elke wereld. In een propositionele modale logica waarbij er geen beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie worden gelegd, zijn alle propositionele [[Tautologie (logica)|tautologie]]ën en het K-[[axioma]] - <math>\Box (\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\Box \phi \rightarrow \Box \psi)</math> - waar voor alle werelden in een model. In een model met beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie zijn meer formules waar: het modale systeem wordt dus uitgebreid met meer axioma's die gelden.
Voor elk van de bovenstaande eigenschappen bestaat een axioma die geldt op frames met die eigenschap. Hieronder staan de axioma's die gelden op frames met bepaalde kenmerken:
*reflexiviteit: <math>\Box \phi \rightarrow \phi</math> (ook bekend als het M-axioma)
*transitiviteit: <math>\Box \phi \rightarrow \Box \Box \phi</math> (4-axioma)
*symmetrie: <math>\phi \rightarrow \Box \Diamond \phi</math> (B-axioma)
*euclidiciteit: <math>\Diamond \phi \rightarrow \Box \Diamond \phi</math> (5-axioma)
*serialiteit: <math>\Box \phi \rightarrow \Diamond \phi</math> (D-axioma)
Men kan bewijzen dat voor elk frame met de eigenschap het bijbehorende axioma geldt en andersom. Deze overeenkomsten tussen axioma's die gelden in een modaal systeem en de eigenschappen van een frame wordt correspondentie genoemd.
==Externe links==
*{{en}} [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal Modale logica], [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]
[[Categorie:Modale logica]]
| |||