Multivariate normale verdeling: verschil tussen versies

k
geen bewerkingssamenvatting
k
}}
 
In de [[kansrekening]] en de [[statistiek]] is de '''multivariate normale verdelingnormaalverdeling''' een speciale [[kansverdeling]]: het is het analogon van de [[normale verdelingnormaalverdeling]] in meer [[dimensie|dimensies]]. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdelingnormaalverdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.
 
== Definitie ==
De stochastische [[vector (wiskunde)|vector]] <math>X = (X_1, \dots, X_n)</math> heeft een ''multivariate normale verdelingnormaalverdeling'' met verwachting <math>\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)</math> en [[covariantie]]matrix de [[positief definiet]]e n×n-[[matrix (wiskunde)|matrix]] &Sigma;, als de kansdichtheid gegeven is door:
 
:<math>
Men noteert kort: <math>X \sim N(\mu, \Sigma)\,</math>.
 
Net als bij de univariate normale verdelingnormaalverdeling, is de [[verdelingsfunctie]] niet expliciet in gesloten vorm te schrijven.
 
== Speciaal geval: univariate normale verdelingnormaalverdeling ==
In het geval ''n'' = 1 is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone [[normale verdelingnormaalverdeling]].
 
== Speciaal geval: bivariate normale verdelingnormaalverdeling ==
Als ''n'' = 2 heet de verdeling ook [[Normale verdelingNormaalverdeling#Bivariate normale verdeling|bivariate normale verdeling]]. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als
:<math>\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix},</math>
 
Als <math>X = (X_1, \dots, X_n)\sim N(\mu,\Sigma)</math>, geldt:
 
* Elke willekeurige lineaire combinatie <math>Y = a'X=a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n</math> heeft een (univariate) normale verdelingnormaalverdeling, met verwachting <math>a'\,\mu\,</math> en variantie <math>a'\ \Sigma a\,</math>.
* De [[karakteristieke functie]] en [[momentgenererende functie]] zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.
 
11.337

bewerkingen